Représentations des groupes modulaires: des constructions homologiques à la topologie quantique – ModHoQTop

La construction de représentations linéaires des groupes modulaires de surfaces est notamment motivée par la question de la linéarité de ces groupes. Dans ce projet nous étudions deux grandes familles de représentations linéaires: les représentations homologiques et quantiques, qui fournissent des bons candidats à être fidèles et avancer donc sur la question de la linéarité. Les représentations quantiques, elles, font partie d'une TQFT et sont ainsi connectées a des familles d'invariants topologiques pour toutes les variétés plongeables en dimension trois. Elles reposent sur des constructions très algébriques et un enjeu est de comprendre ce qu'elles peuvent détecter topologiquement. Ce projet contient donc trois axes majeurs:
- Etudier les deux familles de représentations en particulier essayer d'en trouver des fidèles. Il existe deux stratégies: une homologique qui vise à étendre la preuve à succès de Bigelow dans le cas des disques, et une quantique qui généraliserait la preuve de Freedman--Walker--Wang d'asymptotique fidélité des TQFTs semi-simples.
- Reconstruire entièrement les TQFTs homologiquement en continuant un travail déjà entamé au niveau des tresses, des noeuds ou encore des représentations de groupes modulaires. Interpréter homologiquement les invariants quantiques permettrait de mieux savoir ce qu'ils détectent topologiquement et d'ainsi mieux utiliser leur richesse.
- Reconstruire les groupes quantiques et les algèbres skeins homologiquement. Ce sont les structures algébriques à la base de la construction des TQFTs. La richesse de leur théorie des représentation est aussi source de mystères que la reconstruction géométrico-topologique pourrait éclairer.