K-Théorie, Actions & Homotopie stable – KAsH

Ce projet en topologie algébrique s'appuie sur des avancées récentes et spectaculaires en K-théorie algébrique, homotopie stable et techniques équivariantes ou fonctorielles, utilisant les infini-catégories et l'algèbre supérieure.
Le champ d'application de la K-théorie a été considérablement élargi avec le développement des K-théories continue et hermitienne. Des outils de calcul puissants tels que les filtrations motiviques de l'homologie de Hochschild ont été développés. La célèbre Conjecture du Télescope en homotopie stable a été réfutée, grâce à des contre-exemples provenant de la K-théorie algébrique. La théorie de l'homotopie équivariante et les techniques fonctorielles sont cruciales dans ces développements.
Un objectif majeur du projet est de généraliser les invariants de trace pour la K-théorie Hermitienne des catégories de Poincaré, ainsi que pour la K-théorie réelle (théorie englobant à la fois la K-théorie algébrique et la K-théorie hermitienne).
Les (infini,2)-catégories seront utilisées pour unifier les théories d'homotopie stables équivariantes et développer les 2-foncteurs de Mackey.
Les théories de cohomologie motivique et la filtration motivique de l'homologie de Hochschild topologique seront étudiées, dans le but de les exprimer en tant qu'invariants d'objets géométriques.
Des calculs de l'homologie cyclique topologique et de ses versions réelles et logarithmiques seront effectués afin d'étudier les phénomènes (trans-)chromatiques.
La théorie des foncteurs sur les catégories additives sera appliquée à l'étude de l'homologie de Hochschild topologique, la cohomologie stable des groupes à coefficients tordus, et la K-théorie stable.
Ces puissantes nouvelles techniques exploitant les structures supérieures permettront d'obtenir des résultats importants, avec des interactions significatives et fructueuses entre les thématiques de recherche représentées au sein du projet.