Système de Particules et Risque Systémique – MATH-SPA

Ce projet aborde des questions théoriques venant de la modélisation probabiliste et d'EDP de systèmes de particules avec des interactions "singulières", motivées par des applications dans les domaines de la finance et de la biologie/chimie.

La contagion financière attire une attention considérable, et le risque systémique dans les systèmes bancaires devient un problème majeur pour la stabilité financière qui pose des difficultés importantes tant au niveau de la modélisation qu'au niveau de l'exploitation efficace des données de très grande taille sur les bilans. En langage mathématique, nous considérons un système de particules ("particule" représente "banque", "individu", "cellule", etc.) avec des interactions croisées et l'absorption ("absorption" signifie "défaut", "mort", "disparition", etc.) d'un grand nombre de particules peut se propager via le système avec des effets de domino de l'un à l'autre. Dans ce projet, nous distinguons deux mécanismes d'interactions (notés respectivement par (A) et (B)) entre les particules :

(A) Les absorptions changent le statut des particules vivantes mais n'ont aucun impact sur leur dynamique d'évolution;

(B) Les absorptions ne modifient pas leur statut mais affectent leur dynamique.

Nous nous concentrons sur les questions suivantes :

1. Le calcul de la probabilité de survie (des particules représentatives) est d'une grande importance pour mesurer l'état du système. En outre, le système passe du régime de bon comportement (pour lequel les morts sont très faibles) au régime de crise systémique (qui se caractérise par de grands groupes de particules absorbées pendant une période courte). Le temps de transition est appelé défaillance systémique. Il est crucial de detecter cette défaillance systémique.

2. Cette question est intimement liée aux applications financières, et nous admettons ici "particle=bank" et "absorption=default" afin de simplifier la présentation. Pour atténuer le risque systémique, deux stratégies sont prises en compte.

2.a. Les régulateurs attribuent un budget qui est divisé et alloué aux banques. Quelle est alors la stratégie d'allocation optimale? Le risque peut-il être significativement réduit?

2.b. Les régulateurs permettent aux banques d'acheter et de détenir les actions livrées par d'autres. Existe-t-il un équilibre de Nash (où toutes les banques adoptent la même stratégie)? Si oui, le risque diminue-t-il?

3. Cette question se pose en biologie/chimie (grâce aux discussions avec les biologistes de la chaire MMB dans laquelle notre membre Tomasevic est impliquée). Nous étudions le mouvement chimiotactique des cellules. Dans ce cadre, les cellules émettent un produit chimique qui diffuse et les attire, de sorte que les cellules ont tendance à se concentrer autour des régions à grande densité du produit. Un modèle typique est celui de Keller-Segel, où les particules interagissent par un drift singulier (attractif) pouvant entraîner des collisions de particules. Par conséquent, un système peut non seulement mourir à cause de l'extinction des particules, mais aussi de collisions de particules, où les deux dangers sont de caractéristiques opposées. L'installation d’une barrière absorbante rend le système plus clairsemé et réduit la densité des particules. Cela peut-il allonger la durée de vie du système?

4. Comment nous généralisons les résultats de l'information parfaite à l'information partielle (où les interactions croisées dépendent non seulement de la "moyenne observable" mais aussi d'un bruit commun)? Comment nous généralisons les résultats au dessus d'un système homogène à un système hétérogène?

5. La propagation des chaos (les systèmes de particules convergent vers une limite à champ moyen) est vraie? Si oui, comment estimer la vitesse de convergence?