Méthodes adaptatives espace-temps pour la simulation des écoulements souterrains. – STEERS

Lors d'une simulation numérique, le résultat calculé par l’ordinateur diffère de ce qui se passe réellement. On parle d'erreur numérique. Elle provient du fait que l’on remplace un phénomène continu (par exemple, le déplacement du CO2 sous terre) par un calcul sur une grille en espace et des pas de temps discrets. Si cette erreur devient trop grande, les prédictions (fuites éventuelles) sont fausses. On peut estimer cette erreur avec des indicateurs, qui s'appuient sur la solution déjà calculée. La théorie mathématique permet de garantir que l'erreur, i.e. la différence entre la vraie solution et la solution calculée, est majorée par l'indicateur. Cet indicateur guide ensuite le raffinement/dé-raffinement automatique de la grille ou du pas de temps, ce qui permet de garder la simulation fiable tout en limitant le coût de calcul.

L'obtention d'un indicateur d'erreur comporte en général trois ingrédients: le choix d'une mesure de l'erreur (typiquement une norme dans un espace de Hilbert), l'estimation d'une borne supérieure de cette erreur par des quantités calculables et une estimation d'une borne inférieure. La borne supérieure est un ingrédient indispensable pour garantir que l'erreur de la simulation est contrôlée. La borne inférieure permet de s'assurer que l'indicateur d'erreur et l'erreur elle-même sont du même ordre de grandeur.

Afin de réduire les coûts de calculs, le projet STEERS propose:

1. le développement d’une méthode hybride d'ordre élevé et Galerkin discontinue, permettant de travailler sur des mailles polytopales, et qui conserve la masse ;

2. la conception et l'analyse d'algorithmes adaptatifs espace‑temps pilotés par des indicateurs d'erreur pour raffiner ou dé-raffiner le maillage selon les besoins ;

3. leur implémentation dans une bibliothèque logicielle open source.

L'approche et les développements sont validés sur des problèmes de complexité croissante: des modèles linéaires (type Darcy) puis non linéaires (écoulement multiphasique) et sur des domaines prenant en compte la présence de fractures.

L'objectif de la première tâche du projet est de simuler des problèmes d'advection-diffusion dans des milieux poreux-fracturés, en guidant le raffinement de maillage et le choix des pas de temps à l'aide des indicateurs d'erreur. Cet objectif ambitieux peut être atteint en plusieurs étapes:

1. Extension des indicateurs d'erreur au cas du modèle d'advection-diffusion stationnaire, avec des coefficients de diffusion et une vitesse hétérogènes, sur maillages polytopaux (polygones, polyèdres): le modèle est discrétisé par une méthode de Galerkin discontinue, ce qui permet d'exploiter un maillage polytopal. Le premier résultat a été d'étendre les indicateurs d'erreur déjà proposés et analysés dans la littérature pour cette méthode numérique sur des maillages simpliciaux (triangles, tétraèdres) au cadre plus général des polytopes. Cela a demandé la combinaison de différents outils mathématiques récents. En parallèle, un code Julia utilisant la bibliothèque Gridap est en cours de développement. Dans ce code sont implémentées différentes méthodes hybrides d'ordre élevé, la méthode Hybrid High Order (HHO), et la méthode Galerkin Discontinue (DG), ainsi que les indicateurs d'erreurs associés pour les modèles de diffusion stationnaires. La prise en compte de l'advection est en cours. Une publication présentant l'analyse des indicateurs et leur performance est en cours de rédaction.

2. La prise en compte des fractures dans la procédure d'adaptation et la mise en oeuvre d'une méthode combinant une discrétisation DG dans les mailles internes aux fractures et HHO sur les arêtes intersections entre les fractures, ce qui permet de réduire significativement le nombre d'inconnues par rapport à une méthode HHO sur toutes les mailles. Pour obtenir le maillage qui donne le meilleur compromis précision et coût du calcul, le maillage triangulaire initial du réseau de fractures a fait l'objet d'une procédure d'agglomération, afin de générer un nouveau maillage constitué d'un petit nombre de polygones. La procédure d'adaptation va ensuite raffiner ce maillage polygonal jusqu'à obtenir le niveau de précision désiré. Les premiers résultats obtenus sur des réseaux fracturés de taille modérée offrent des perspectives très encourageantes de réduction des coûts calcul. Une publication est en cours. Ce travail est présenté à la conférence CMWR2026.

3. L'étude d'un algorithme d'adaptation espace-temps pour l'équation des ondes a permis une première prise en compte du temps dans les simulations. L'algorithme d'adaptation est générique (indépendant du modèle physique) et pourra donc être réutilisé pour les travaux en cours sur les écoulements. Pour suivre les modifications, une étape de projection des quantités discrètes entre deux maillages successifs peut être requise. Ce travail a fait l'objet de deux publications.

La suite du projet consiste à compléter le travail sur les modèles d'advection diffusion: étendre les indicateurs d'erreur du problème d'advection-diffusion au cas instationnaire (avec prise en compte du temps); ajouter au code Julia la partie advective et instationnaire; valider l'algorithme d'adaptation espace-temps pour les méthodes HHO et DG; prendre en compte le milieu poreux fracturé; passer du prototype en Julia à une bibliothèque open source.

A plus long terme, les deux autres objectifs seront d'étendre les méthodes aux modèles de diffusion non linéaires et aux modèles d'écoulements diphasiques.

Le développement et l'amélioration des technologies de captage et de stockage du CO2 (CSC) sont des étapes essentielles pour atteindre l'objectif de zéro émission nette au niveau mondial d'ici 2050 (accord de Paris, adopté en 2015). L'efficacité et la sécurité de ces nouvelles technologies pourraient être entravées par la présence de fractures. Les fractures font partie des principaux risques de fuite de CO2. Leurs structures et leurs connexions jouent un rôle essentiel dans la dynamique des processus physiques se produisant dans le sous-sol. La simulation numérique est un outil indispensable pour réaliser des prévisions de ces processus et les études d'évaluation des risques de ces nouvelles technologies. Pour établir des prévisions fiables, il est nécessaire de disposer de modèles qui décrivent avec précision le sous-sol et les divers processus physiques sur de grandes échelles spatio-temporelles.
De telles simulations ne sont pas facilement réalisables car leur coût de calcul serait prohibitif avec les méthodes numériques classiques basées sur des maillages et des pas de temps uniformes. Par conséquent, nous proposons une nouvelle approche fondée sur des méthodes numériques adaptatives espace-temps. Pour un niveau de précision donné, STEERS réduira le coût de calcul grâce à trois ingrédients principaux : 1/ une méthode combinée Hybrid High-Order / Discontinuous Galerkin (HHO/DG) sur maillages agglomérés pour la discrétisation spatiale; 2/ des algorithmes de maillage adaptatif en espace temps pilotés par des estimations d'erreur a posteriori; 3/ une implémentation des algorithmes proposés dans une bibliothèque parallèle open source. Cette bibliothèque sera validée tout au long du projet sur des applications de complexité croissante, allant de problèmes linéaires (de type Darcy) à des problèmes non linéaires (de type écoulement multiphasique) et allant de la petite échelle à la grande échelle (sur des domaines pouvant contenir jusqu'à des milliers de fractures).