Germes tangents à l'identité et surfaces affines – TIGerS

L'étude des surfaces de Riemann munies d'une structure affine complexe (i.e., pour lesquelles les changement de cartes sont des similitudes complexes z-> az+b) a été initiée par William Veech dans les années 1990 et a depuis peu connu un regain d'intérêt dans le cadre des surfaces de dilatation. L'étude locale de la dynamique des germes de fonctions holomorphes au voisinage d'un point fixe est relativement bien comprise en dimension un, et bien moins maitrisée en dimension supérieure.

Nous proposons de développer des interactions entre ces deux domaines mathématiques, plus précisément, entre l'étude locale des germes tangents à l'identité à l'origine de C2 et l'étude du comportement asymptotique des géodésiques des structures affines méromorphes sur la sphère de Riemann CP1. Le passage d'un domaine à l'autre se fait via l'étude des trajectoires en temps réel des champs de vecteurs polynomiaux homogènes de C2 : la méthode d'Euler d'un tel champ consiste à itérer un germe tangent à l'identité, et les trajectoires en temps réel d'un tel champ se projettent dans CP1 sur les géodésiques d'une structure affine méromorphe sur CP1.