Géométrie Mixte Graduée et Théorie de la Représentation – MiGraRe

MiGraRe vise à attaquer plusieurs conjectures récentes (et même très récentes) en théorie de la représentation géométrique à l’aide d’outils homotopiques. Une première partie du programme vise à introduire et étudier les Yangians des courbes et surfaces, des nouveaux objets qui sont couramment en train d’émerger à la frontière de la théorie des représentations. Pour ce qui concerne cette partie, l’objectif est d’utiliser des techniques, déjà bien établies, de géométrie dérivée et théorie de l’homotopie stratifiée pour résoudre plusieurs conjectures introduites par Schiffmann dans son ICM du 2018, et surtout l’analogue de la conjecture de positivité de Kac pour les fibrés de Higgs.

La deuxième partie du programme vise à développer des nouveaux méthodes homotopiques, qui n’existent pas à ce jours, mais qui s’inspirent de la théorie récente des foliations dérivées introduits par Toën-Vezzosi. Du point de vue des fondations, l’objectif est d’étendre la notion de foliation dérivée pour obtenir une vaste généralisation de la géométrie algébrique dérivée. Concrètement, on agrandira la classe des schémas affines, passant des algèbres différentielles graduées commutatives aux algèbres mixtes graduées. En cours de route, on s’attend à découvrir des nouvelles structures algébriques sur des espaces de modules classiques, l’exemple le plus important étant celui des représentations 2-périodiques d’un carquois fixé. Cet example joue un rôle clé dans le travail de Bridgeland sur la réalisation de l’entier groupe quantique d’un carquois Dynkin comme une algèbre de Hall classique. L’un des objectifs principaux de MiGraRe est en effet de généraliser son résultat aux algèbres de Hall cohomologiques. En particulier, ceci donnera lieu à une nouvelle façon de décrire tout le Yangian de Maulik-Okounkov et amènera à une nouvelle approche pour attaquer une conjecture formulée par Okounkov, qui prédit une interprétation en termes d’algèbres de Lie pour les coefficients du polynôme de Kac d’un carquois.