Nouvelles apllications des invariants quantiques en topologie de dimension 3 et 4 – NAQI-34T

Le but de ce projet est de développer de nouvelles applications aux invariants quantiques à la
topologie de dimension 3 et 4. Les principaux objectifs sont divisés en trois parties:
Premièrement, nous développerons des applications des représentations quantiques à la théorie
des groupes modulaires des surfaces, où nous proposons d'étudier la fidélité de deux familles de
représentations linéaires des groupes modulaires: les représentations quantiques non semisimples, et les représentations d'homologie d'Heisenberg sur les espaces de configuration des
surfaces. Ces représentations sont toutes deux des candidats sérieux de représentations linéaires
fidèles des groupes modulaires des surfaces, ce qui répondrait à l'un des principaux problèmes
ouverts sur ces groupes.
Nous allons également étudier la question d'Ivanov qui demande si un
sous-groupes d'indice fini d'un groupes modulaire de surface peut être d'abélianisation infinie, sur
l'exemple des noyaux des représentations quantiques semi-simples modulo un idéal.
Notre deuxième axe est de développer des méthodes pour relier les invariants quantiques aux
homologies tordus sur les espaces de configuration, dans le but de produire de nouvelles
informations sur le contenu géométrique de ces invariants.
Nous pensons qu'un tel programme
pourrait induire des applications aux nombreuses conjectures reliant invariants quantiques et
classiques, et aux problèmes de détection (par exemple: les polynômes de Jones coloriés
détectent-ils le noeud trivial ?).
Nous nous intéresserons aussi aux applications des TQFTs de
Witten-Reshetikhin-Turaev aux problèmes de chirurgie, comme le calcul des nombres de chirurgie
des variétés de dimension 3, ou la conjecture des chirurgies cosmétiques.
Enfin, le troisième aspect de notre projet est de développer de nouvelles applications des invariants
quantiques en dimension 4. Nous voulons utiliser la théorie des trisections pour extraire de
nouveaux invariants des variétés de dimension 4 ou des surfaces nouées dans S^4 à partir des
invariants quantiques en dimension 3: polynôme de Jones coloriés, invariants de WittenReshetikhin-Turaev...
Une piste intéressante est donnée par la récente preuve de la conjecture de
finitude de Witten pour les modules skein: nous rechercherons comment définir une 3+1 TQFT dont
les valeurs sur les variétés de dimension 3 sont les modules skein de Kauffman. En particulier,
nous voulons développer des méthodes effectives pour calculer la dimension des modules skein, et
donner une preuve constructive de la conjecture de finitude de Witten.