Modèles intégrables stochastiques : chemins non-intersectants, interfaces et diffusions en milieu aléatoire – IntStoch

Les systèmes aléatoires à haut degré de liberté, par exemple constitués d’un grand nombre de particules interagissantes, présentent souvent un comportement universel à grande échelle. Cela signifie que les exposants de renormalisation, et même les lois précises décrivant les fluctuations aléatoires de quantités macroscopiques, sont largement indépendants des spécificités du modèle et des détails des règles d'interaction. Ainsi, au sein d’une classe d’universalité, l’étude d’un modèle-jouet intégrable, c’est à dire exactement résoluble, donne beaucoup d'informations sur les caractères universels de cette classe. Le domaine des probabilités intégrables désigne l’art de construire de tels modèles intégrables à l’aide d’une large palette d’outils alliant l’analyse stochastique, la combinatoire algébrique , les matrices aléatoires, la théorie des représentations ou les systèmes intégrables quantiques. En particulier, ces méthodes ont nourri des avancées importantes des dernières années à propos de la classe d’universalité de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), une classe de modèles décrivant la croissance d’interfaces et les fluctuations de trajectoires aléatoires en milieu aléatoire.
L’un des buts de ce projet est de produire de nouveaux résultats et méthodes, pour les modèles de la classe KPZ, permettant de mieux comparer les prédictions théoriques avec la réalité expérimentale. Les applications incluront l’étude des fluctuations de systèmes ouverts de particules en interaction et l’estimation des temps d’atteinte de diffusions extrêmes en milieu aléatoire. L’autre objectif est d’exporter les outils de probabilités intégrables hors de la classe KPZ, afin d’étudier notamment les surfaces aléatoires associées à des ensembles de trajectoires non-intersectantes en milieu aléatoires, et des analogues non-commutatifs de modèles de la classe KPZ. Au passage, nous généraliserons plusieurs des élégantes structures mathématiques qui sous-tendent l’intégrabilité stochastique.