Conditionnement et théorèmes limites pour les marches aléatoires et les procesuss de branchment – RAWABRANCH

Ce projet concerne divers aspects des processus de branchement en environnement fixe, variable ou aléatoire, qu'ils soient à un seul type ou multitypes. Nous nous proposons d’identifier la limite des arbres de Bienaymé-Galton-Watson conditionnés par leur population totale à partir de leur codage par des marches aléatoires multi-indicées, à valeurs matricielles. Puis nous étudierons le problème de l’extinction d’une partie de la population pour les processus de branchement continus multitypes. Nous construirons ensuite l'analogue continu des arbres de Bienaymé-Galton-Watson multiypes. Ces arbres aléatoires continus seront alors obtenus dans le cas stable comme des limites d’échelle des arbres discrets renormalisés. Nous étudierons aussi les processus de branchement multitypes à temps discrets en milieux aléatoires pour obtenir des propriétés asymptotiques de la taille de la population correspondante et de leur probabilité de survie ; en particulier les problèmes de grandes déviations et de normalisation asymptotique seront considérés. Dans ce but, nous approfondirons donc au préalable l'étude des produits des matrices aléatoires, notamment au travers de celle des processus multidimensionnels correspondants à l'action linéaire de ces produits de matrices. Nous nous intéresserons tout particulièrement aux cas où ces processus sont conditionnés à rester dans un cône de l'espace euclidien. Nous établirons alors des théorèmes limites (principe d'invariance, théorème de la limite locale, ...) pour ces processus conditionnés. Nous nous intéresserons enfin à la martingale fondamentale de branchement associée à ces arbres de Bienaymé-Galton-Watson et définie à partir des produits de matrices aléatoires correspondants.