Mieux comprendre les effets de la non-linéarité dans les processus de Hawkes – HAPPY

Les processus de Hawkes, initialement introduits pour modéliser l'occurrence des tremblements de terre et de leurs répliques, sont actuellement utilisés dans un nombre croissant de domaines tels que les neurosciences, la finance et les assurances. Ces processus ponctuels modélisent les occurrences successives d'événements et l'influence de chacun sur la probabilité d’occurrences futures. La diversité des applications nécessite de considérer des modèles généraux incluant des effets non linéaires de la dépendance temporelle, l'inhibition entre les événements ou un réseau d'interaction. De nouvelles questions mathématiques émergent de ces généralisations, l’une des difficultés majeures provenant des structures de dépendance complexes qui apparaissent entre les événements. Des avancées récentes sur les propriétés en temps long d’une classe de processus de Hawkes non linéaires avec inhibition ont été obtenues en exploitant une structure de renouvellement sous-jacente à ces processus. Ces résultats ouvrent une direction de recherche prometteuse, mais le développement d’applications notamment statistiques nécessite une meilleure compréhension de cette structure de renouvellement ce qui représente l’un des challenges de notre projet. Le cadre multivarié soulève aussi des questions complexes, car l’inhibition joue un rôle important dans la régulation de l’activité des réseaux complexes. Un défi majeur dans le cadre multivarié consiste à comprendre l’interaction entre l’inhibition, la taille et la géométrie du réseau. Par ailleurs, si de nombreuses techniques ont été développées pour inférer les paramètres des processus de Hawkes, peu d’outils sont disponibles pour tester la présence de régulation ou d’inhibition temporelle dans les réseaux. Dans ce projet, nous visons à développer des tests efficaces pour détecter la présence de non-linéarités et pour identifier la structure sous-jacente des réseaux observés.