Contrôle basé sur la donnée et paramétrisation via des variétés matricielles – CONMAN

La modélisation basée sur les données a un impact fort dans de nombreux domaines scientifiques. Les techniques orientées contrôle telles que POD, ERA ou DMD sont particulièrement intéressantes ici. Malgré leur large diffusion, de telles techniques ne peuvent aisément fournir une représentation fidèle du système étudié lorsque celui-ci est paramétré. L'objectif du présent projet est de s'attaquer à ce problème.

En reformulant ces différentes techniques dans le cadre d'une régression à contrainte de rang, une factorisation SVD de l'opérateur sous-jacent peut être obtenue. S'appuyant sur des travaux récents sur l'interpolation sur des variétés matricielles, cette factorisation peut être interpolée sur la base de la variété Stiefel.

À l'aide de ces nouveaux outils mathématiques, l'objectif du présent projet est d'explorer notre capacité à obtenir des modèles paramétrés basés sur les données avec un accent particulier sur le contrôle en boucle fermée en dynamique des fluides. Afin d'illustrer notre méthodologie, deux problèmes classiques de contrôle d'écoulement (cylindre et cavité ouverte) seront considérés. Dans les deux cas, différentes variantes de modèles d'ordre réduit seront prises en compte (e.g., ERA, DMD, BPOD, etc.) et les dépendances paramétriques y seront intégrées. Parce que l'utilisation de la variété de Stiefel nous donne une notion naturelle de distance entre deux décompositions modales, des stratégies d'échantillonnage efficaces de l'espace des paramètres peuvent être conçues. En partant des modèles basés sur les données obtenus à différents points de l'espace des paramètres, un nouveau modèle peut être obtenu pour un nouveau point de requête avec une complexité de calcul minimale en utilisant de tels schémas d'interpolation.

Compte tenu de l'omniprésence des décompositions matricielles en sciences de l'ingénieur, la méthodologie proposée devrait avoir des applications de grande envergure, au delà de la simple dynamique des fluides.