Fonctions L : aspects p-adiques, analytiques et effectifs – PadLEfAn

La fonction L d'un objet mathématique - d'un corps de nombres, d'une variété algébrique ou d'une représentation automorphe - est un pont enter l'étude analytique et arithmétique de cet objet.

Le motif central organisant ce projet est une incarnation concrète spécifique de ce thème classique rendues possibles par des résultats récents obtenus par ses participants: les valeurs spéciales des fonctions L ont deux composantes, une transcendante (le régulateur) et une arithmétique ; tout résultat précis et exhaustif sur l'arithmétique de la seconde composante a donc sa traduction dans la première, et vice-versa.

Pour ouvrir ce cercle d'idées, notons que la preuve récente de la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa des formes modulaires et ses généralisations potentielles à d'autres formes automorphes, qui sont des résultats p-adiques, permettent le calcul effectif des régulateurs, périodes et fonctions L-padiques de ces formes, ce que l'on peut voir comme une variante effective de la théorie de Hodge p-adique entière. Le calcul effectif des régulateurs p-adiques a son pendant pour les motifs en caractéristique positive, où on sait qu'il est étroitement lié au problème ouvert de l'existence d'une équation fonctionnelle pour le fonction L et de la détermination des valeurs spéciales de cette dernière.

De même, le calcul effectif de régulateurs a son pendant analytique, sous la forme des théorèmes effectifs de Brauer-Siegel, pour les corps de nombres comme pour les variétés abéliennes, des résultats qui mènent à des majorations et minorations des valeurs spéciales des fonctions L.

Ce cercle d'idée est complet lorsque l'on note que l'asymptotique donnée par ces théorèmes de Brauer-Siegel a elle-même des applications en théorie d'Iwasawa des tours de corps des nombres et des variétés algébriques.

C'est ce jeu mutuel entre propriétés p-adiques, analytiques et effectives des valeurs spéciales des fonctions L que nous nous proposons d'étudier.