Méthodes d'éléments finis discontinus de type Galerkin spécifiques pour la propagation des ondes en régime harmonique – WavesDG

La simulation numérique des phénomènes de propagation d’ondes est largement utilisée dans l’étude de problèmes sociétaux/industriels importants, tels que la réduction des nuisances sonores dues aux avions, les analyses de compatibilité électromagnétique, ou l’évaluation de risques sismiques. Lorsqu'un nombre limité de fréquences doit être étudié, on considère généralement des procédures de résolution numérique basées sur la discrétisation d'équations harmoniques de temps, dont l'équation de Helmholtz est l'exemple typique. Cependant, il est très difficile de développer des outils de résolution qui soient à la fois rapides et fiables pour les problèmes de propagation d’ondes en régime harmonique. La situation est encore plus compliquée pour les problèmes à haute fréquence, où la longueur d'onde est très petite par rapport à la taille caractéristique du problème considéré.

Dans le cadre du projet WavesDG, on s’intéresse à la résolution par éléments finis de problèmes de propagations d’ondes en régime harmonique de très grande taille. Les méthodes d’éléments finis (FEMs) peuvent fournir des solutions précises et fiables pour des problèmes dont les configurations physiques et géométriques sont complexes. Ces méthodes sont flexibles et reposent sur une base mathématique solide. Cependant, la discrétisation de problèmes harmoniques en temps conduit à des systèmes linéaires creux de grande taille qui sont difficiles à résoudre avec des schémas itératifs standards : Ils sont mal conditionnés en raison de propriétés intrinsèques des problèmes considérés. La solution itérative parallèle de ces systèmes peut être accélérée en utilisant des méthodes de décomposition de domaine (DDMs), mais les approches DDM standards ne sont pas efficaces pour les problèmes en régime harmonique, et des stratégies spécifiques aux ondes doivent être développées.

Dans le projet WavesDG, on s’intéresse à l’étude et l’extension de schémas d'éléments finis discontinus de type Galerkin (DG) pour l'équation de Helmholtz. Ces méthodes reposent sur l’utilisation de fonctions de base discontinues. Des conditions de transmission (ou termes de pénalité) sont définies aux interfaces entre les éléments afin d’imposer faiblement la continuité de la solution numérique. On étudiera des méthodes DG avec de nouveaux traitements d'interface spécifiques aux ondes, basés sur des conditions de transmission de d’ordre bas et d'ordre élevé. On les combinera avec des DDMs spécifiques aux ondes et, dans la dernière partie du projet, avec des fonctions de base de type ondes planes. En utilisant des stratégies spécifiques aux ondes à tous les niveaux, on cherche à améliorer la précision de la solution numérique et les propriétés du système algébrique pour des procédures de résolution efficaces sur des architectures parallèles à mémoire distribuée.

Les axes de recherche du projet WavesDG abordent l'étude numérique systématique de méthodes DG standard/non-standard (incluant une discussion des opérateurs de transmission et des variables de couplage aux interfaces) et des études mathématiques sur les méthodes les plus prometteuses afin de renforcer les fondations mathématiques des méthodes et de guider la sélection des paramètres. Dans un premier temps, on utilisera des fonctions de base polynomiales d'ordre élevé standard. L’utilisation de fonctions de type ondes places sera abordée dans la dernière partie du projet. Des schémas DG sélectionnées seront mis en œuvre dans un code de calcul 3D dédié, parallélisé, et accéléré avec une DDM spécifique pour les ondes. Ce code sera utilisé pour évaluer l'efficacité de l'approche complète sur des problèmes acoustiques réalistes de très grande taille.