CE40 - Mathématiques

Nouvelles directions en contrôle et stabilisation: Contraintes et termes non-locaux – TRECOS

Résumé de soumission

Le but de ce projet est d’attaquer de nouvelles directions de recherches en théorie du contrôle pour les équations aux dérivées partielles, motivées par des modèles issus de l’écologie et de la biologie.

Notre projet s’intéressera notamment à développer des nouvelles méthodes qui pourront s’appliquer dans un certain nombre d’applications, allant du traitement des cellules tumorales à l’analyse de l’efficacité thermique des bâtiments, et des questions de contrôle biologique des insectes aux écoulements cardiovasculaires. Pour cela, nous devrons résoudre un certain nombre de nœuds théoriques pour mettre au point des méthodes efficaces de contrôle.

Ainsi, nous avons ciblé quatre grands challenges.

Le premier axe d’étude concerne le contrôle des systèmes paraboliques, en particulier dans le cas où le contrôle n’agit pas sur toutes les composantes du système. Dans ce cas, la difficulté principale vient du fait que les composantes du système sur lesquelles le contrôle n’agit pas sont contrôlées de façon indirecte à travers le couplage avec les autres composantes du système. Notre but sera de mieux comprendre les propriétés de contrôle de tels systèmes, et de développer des méthodes robustes s’appliquant en particulier dans des contextes non-linéaires.

Le second axe s’attache à comprendre les propriétés de contrôle d’équations aux dérivées partielles contenant des termes non-locaux. Ces termes non-locaux apparaissent dans de nombreuses applications, dès que la dynamique du système dépend de quantités globales, ou localement moyennées. C’est le cas par exemple en dynamique des populations, où les naissances dépendent de l’ensemble de la population. De nouveaux outils doivent être développés dans ce contexte, où les techniques développées jusqu’à présent en contrôle ne s’appliquent pas.

Le troisième point de notre étude se concentre sur des applications majeures liées à la mécanique des fluides. On s’intéressera notamment à la modélisation de l’efficacité thermique des bâtiments et aux questions de contrôle s’y afférent, à la modélisation des écoulements sanguins et des questions de stabilisation autour d’une trajectoire périodique dans des modèles d’interactions entre un fluide visqueux ou visco-élastique (le sang), et une structure élastique (les vaisseaux sanguins), et au design de convertisseur d’énergie houlomotrice de rendement optimal.

Notre quatrième axe d’étude concerne le contrôle d’équations aux dérivées partielles lorsque les trajectoires sont soumises à des contraintes. L’étude de ces questions n’a commencé que très récemment et doit être développée et étendue à de nombreux modèles, notamment pour être capable de prendre en compte les questions de positivité des trajectoires contrôlées, ou de certaines composantes de ces trajectoires, requises pour la faisabilité de ces contrôles. Cette question apparaît de fait très naturelle dès lors que certaines quantités d’un système sont intrinsèquement positives, comme c’est le cas par exemple lorsqu’elles modélisent une densité de population ou une concentration de produit chimique.

En résumé, avec ce projet, notre but est de réduire l’écart entre la théorie et les applications et d’obtenir des avancées significatives pour l’utilisation de modèles plus précis et de méthodes de contrôle plus efficaces dans des applications concrètes.

Coordination du projet

Sylvain Ervedoza (Institut de mathématiques de Bordeaux)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMT Institut de Mathématiques de Toulouse
Inria Nancy Centre de Recherche Inria Nancy - Grand Est
IMB Institut de mathématiques de Bordeaux
LJLL Laboratoire Jacques-Louis Lions

Aide de l'ANR 269 979 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2020 - 48 Mois

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