Configurations géométriques et combinatoires en théorie des modèles – GeoMod

GeoMod est un Projet de Recherche Collaborative international entre la France et l’ Allemagne, en Théorie des Modèles.

La théorie des modèles contemporaine étudie les propriétés abstraites de structures mathématiques du point de vue de la logique du premier ordre. Elle tente d’isoler les propriétés combinatoires des ensembles définissables, comme l’existence de certaines configurations ou de fonctions de rang, et d’utiliser ces propriétés pour en déduire des conséquences structurales. Celles-ci peuvent être de nature algébrique ou géométrique et peuvent être appliquées à des contextes spécifiques, telles que la géométrie de Berkovich, la géométrie algébrique, l’algèbre différentielle ou aux différences, la combinatoire additive ou la géométrie de Erdos.

Un exemple typique de configuration combinatoire qui a des conséquences algébrique est donné par le théorème de la configuration de groupe. Il assure qu’un certain type de combinaison de lignes et de points satisfaisant des propriétés dimensionnelles sont nécessairement induites par la présence d’un groupe et que, de plus, les structures possibles pour un tel groupes sont réduites. Ce résultat, qui est en fait une vaste généralisation du résultat classique de coordinatisation des géométries projectives, a été finalisé sous sa forme définitive, dans le cadre des théories stables, par Hrushovski dans sa thèse en 1986. Depuis, il est devenu l’un des outils les plus puissants en stabilité géométrique et a été utilisé aussi bien pour résoudre des problèmes ouverts en théorie de la classification que dans la preuve du théorème de trichotomie pour les géométries de Zariski. Il a ainsi eu un rôle décisif dans les démonstrations modèle-théoriques des conjectures de Mordell-Lang pour les corps de fonctions et de Manin-Mumford pour les corps de nombres. Depuis quelques années, le théorème de la configuration de groupe et ses avatars ont joué un rôle central dans les applications à la combinatoire, par exemple dans les travaux de Hrushovski sur les groupes approximatifs, ou encore plus récemment dans les travaux de Bays et Breuillard qui étendent le théorème classique d’Elekes-Szabó.

La théorie des modèles des corps valués est un autre exemple de la convergence de la théorie « pure » de la stabilité et de la théorie des modèles appliquée à l’algèbre. Déjà en 1959, Abraham Robinson avait identifié la théorie des corps algébriquement clos valués comme le modèle compagnon de la théorie des corps valués. Pendant presque tout un demi-siècle, l’étude des corps valués est resté dans le champ de la théorie des modèles « appliquée ». Mais afin de décrire les quotients des ensembles définissables par des relations d’équivalence définissables dans les corps valués (les « imaginaires ») Haskell, Hrushovski et Macpherson ont été amenés à développer la théorie de la domination stable, et les deux points de vue pur et appliqué se sont rejoints. La connexion profonde entre des deux approches de la théorie des modèles des corps valués est manifeste aussi dans les travaux de Hrushovski-Loeser en géométrie non archimédienne, quand ils remplacent les espaces de Berkovich par les espaces de types stablement dominés.

Notre projet est structuré autour de ces trois thèmes : Tout d’abord renforcer les interactions encore fort récentes entre la théorie des modèles et la combinatoire. Ensuite, développer la théorie des modèles des corps valués, un sujet traditionnellement très présent en France et en Allemagne, mais en utilisant les outils les plus récents de la stabilité (ou néostabilité) géométrique .Enfin, étudier et développer, avec un point de vue plus abstrait, les configurations géométriques et combinatoires qui sont les outils fondamentaux utilisés dans les deux précédents sujets.