CE40 - Mathématiques

Algèbres d'Opérateurs et Dynamique des Groupes – AODynG

AODynG

Algèbres d'opérateurs et Dynamique des groupes

Comprendre des algèbres d'opérateurs associées à des groupes et des systèmes dynamiques

L’objectif principal du projet est d’utiliser des techniques dynamiques pour étudier des algèbres d’opérateurs associées à des groupes ou des actions, et inversement, utiliser les algèbres d’opérateurs pour comprendre certaines propriétés dynamiques et algébriques de groupes. Plus concrètement : <br />- On veut étudier les algèbres de von Neumann associées à des réseaux semi-simples ou à des actions de tels réseaux, dans le but de progresser sur une conjecture de Connes. Par exemple, on aimerait montrer que l’algèbre de von Neumann de SL(n,Z) se souvient de l’entier n. Le point d’appui est l’action de SL(n,R) sur son espace symétrique et ses compactifications. <br />- On étudie aussi des marches aléatoires pour certains systèmes dynamiques sur des C*-algèbres en vue d’applications à la théorie des représentations, et à la structure algébrique du groupe agissant, par exemple en comprenant ses sous-groupes uniformément récurrents (URS). Dans une autre direction, certaines marches aléatoires sur des groupes quantiques sont aussi étudiées. - Une approche plus globale est aussi considérée, via des arguments de généricité et la théorie descriptive des ensembles. Ainsi, plutôt que d’étudier certaines algèbres de von Neumann précises, des techniques dynamiques permettront cette fois de montrer l’existence d’algèbres de von Neumann avec des propriétés surprenantes.

Nous envisageons une approche dynamique. On aimerait utiliser des propriétés dynamiques pour contourner des difficultés algébriques et analytiques. On utilisera par exemple la propriété de proximalité et ses variantes, ou encore certaines marches alétaoires.

Nous avons obtenu des résultats sur les représentations unitaires des réseaux semi-simples de rang supérieur en étudiants certaines algèbres d'opérateurs associées.

Nous avons aussi obtenu des résultat classifiant les URS de certains groupes dans différents contextes.

Nous avons enfin étudié des phénomènes de transition de phase de type «cut-off« pour certaines marches aléatoires quantiques.

Certains travaux dans le cadre de cette ANR révèlent la pertinence de la théorie ergodique non-commutative, et l'espoir de généraliser certaines idées de Margulis dans le cadre d'actions sur des algèbres de von Neumann.

Plusieurs articles ont été écrits et soumis pour publication.

Ce projet vise à renforcer les interactions entre les algèbres d'opérateurs et la géométrie et la dynamique des groupes. Bien que récente, cette idée d'utiliser des outils de dynamique des groupes dans le cadre plus analytique des algèbres d'opérateurs s'est déjà révélée très fructueuse, dans deux directions notamment, que nous proposons de développer plus en profondeur. La première direction est la classification des algèbres de von Neumann associées à des groupes et à des actions de groupes. L'un des enjeux sera de comprendre les algèbres associées à des réseaux en rang supérieur (le cas des réseaux en rang un étant à présent plutôt bien compris). La deuxième direction est liée aux avancées récentes sur la C*-simplicité des groupes dénombrables. Nous explorerons ce thème sous divers aspects, en lien avec la dynamique topologique et la dynamique "stationnaire". L'approche d'Ozawa sur la solidité relie les algèbres de von Neumann et les C*-algèbres (et la dynamique topologique). Nous espérons pouvoir aller plus loin dans cette direction, en exploitant notamment les travaux récents de Boutonnet-Ioana-Peterson.
Nous étudierons également d'autres problèmes qui reposent sur ce lien entre dynamique des groupes et algèbres d'opérateurs. Nous aborderons notamment certaines questions en lien avec les groupes quantiques, visant à développer des outils d'analyse harmonique sur des groupes. Une autre approche complémentaire consistant à étudier les algèbres de von Neumann et leurs sous-algèbres de manière globale, dans l'esprit de la théorie descriptive des ensembles, sera aussi considérée.

Coordinateur du projet

Monsieur Rémi Boutonnet (Institut de mathématiques de Bordeaux)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMB Institut de mathématiques de Bordeaux

Aide de l'ANR 60 300 euros
Début et durée du projet scientifique : octobre 2019 - 36 Mois

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