Analyse non commutative sur les groupes et les groupes quantiques – ANCG

Le consortium est constitué de chercheurs travaillant sur les espaces Lp non-commutatifs, les espaces/algèbres d'opérateurs et les groupes quantiques. Les multiplicateurs occupent un place de choix dans leurs travaux et sont un point de contact idéal pour tisser de nouveaux liens et faire émerger de nouvelles idées.
Le projet est l'occasion de rapprocher des spécialistes d'algèbres d'opérateurs et d'analystes fonctionnels d'horizon divers. Il n'y a que peu d'endroits qui concentrent ses direction des recherches. Le projet facilitera et encouragera les collaborations et les interactions avec l'extérieur. Le projet prévoit deux post-doctorants en soutien qui s'ajouteront aux doctorants des différents partenaires.

L'intégration non commutative est au cœur des quantifications en physique et mathématiques. L’idée sous-jacente est d’oublier l’axiome de commutativité pour les algèbres de fonctions, ainsi les fonctions sont remplacées par des opérateurs. Bien qu’assez ancienne, elle a connu un second départ à la suite de l’émergence de la théorie des espaces d’opérateurs dans les années 90 qui a permis de lui donner un très bon cadre et surtout des nouveaux outils pour aborder les problèmes de nature analytique des théories quantifiées. De part leur origine, celles-ci ont des liens forts avec les algèbres d’opérateurs. Une partie de l’analyse non commutative est née de l’étude des propriétés d’approximation des algèbres d’opérateurs dans les années 80. Elle fournit également un excellent point de vue pour étudier des questions en géométrie non commutative ou en information quantique. Par exemple, le calcul différentiel de Connes ainsi que son extension très récente par l’équipe de Sukochev reposent sur la construction d’un calcul pseudo-différentiel sur des espaces de Sobolev non commutatifs. Les derniers progrès autour de l’entropie quantique au travers des inégalités fonctionnelles non commutatives montrent que l’information offre également un très vaste champs d’explorations nouvelles pour l’analyse non commutative. Les multiplicateurs de Fourier et de Schur sont des outils centraux dans les recherches actuelles en analyse non commutative, notamment celles motivées par des questions en algèbres d’opérateurs ou théorie géométrique des groupes. Les premières interactions entre espaces d’opérateurs, algèbres d’opérateurs et probabilités quantiques ont donné des résultats significatifs. On peut s’attendre à ce qu’un développement en profondeur d’une théorie des multiplicateurs puisse ouvrir de nouvelles perspectives et fortement impacter le futur des théories quantiques.

Les multiplicateurs de Fourier sont de très loin les opérateurs les plus importants en analyse classique. On peut même considérer que l'analyse harmonique s’est développée autour de leur étude,l’essentiel se résumant souvent à montrer leur bornitude sur différents espaces de fonctions, notamment les espaces Lp. A proprement parler, les versions non commutatives des espaces Lp sont assez anciennes, introduites par Schatten/von Neumann, Dixmier et Segal dans le cas tracial, puis généralisées par Connes/Hilsum, Haagerup et Kosaki. L’ajout de leur structure d’espaces d’opérateurs par Pisier a été la dernière étape pour aboutir à leur théorie moderne. L’intuition commutative laisse à penser que les évolutions en analyse non commutative doivent être guidées par les progrès sur les multiplicateurs de Fourier. Cependant il existe peu de résultats sur la bornitude de ces applications sur Lp (avec p finie). Plusieurs raisons l’expliquent : la non commutativité rend les choses bien moins maniables, beaucoup d’outils classiques n’ont pas d’équivalents comme les fonctions maximales ou les temps d’arrêt. Les recherches sur les multiplicateurs de Fourier et de Schur ont déjà connu des succès, une théorie de Calderón-Zygmund non commutative commence à se dessiner. Néanmoins, beaucoup reste à faire pour arriver à la richesse de la théorie commutative.

C’est pourquoi l’objectif de ce projet est de se concentrer en premier lieu sur les développements des théories de multiplicateurs en analyse non commutative mais aussi sur leurs applications en analyse harmonique non commutative au sens large. Le projet vise à établir des théorèmes à la Hörmander-Mikhlin pour les multiplicateurs radiaux sur certains groupes notamment les groupes libres, qui conduirait à l’accomplissement d’une théorie de Calderón-Zygmund non commutative. Un autre volet fondamental concerne les applications aux propriétés d’approximation, un objectif majeur est d’exhiber un espace Lp concret sans la propriété d’approximation de Grothendieck ou complètement bornée pour tout p>2, ce qui un problème ouvert de longue date.