Dimères : de la combinatoire à la mécanique quantique – DIMERS

Le modèle de dimères a été introduit en mécanique statistique pour rendre compte
du phénomène d'adsorption de molécules à la surface d'un cristal.
Mathématiquement, ce modèle est défini par une mesure de probabilité sur les
couplages parfaits d'un graphe, appelés aussi « configuration de dimères ».

Le modèle de dimères sur un graphe planaire est relié à plusieurs autres modèles
présentant aussi un grand intérêt : pavages aléatoires, arbres couvrants,
modèle d'Ising…
Plusieurs angles d'approches à ce modèle sont disponibles, grâce à ses liens
avec la théorie des représentations, l'analyse complexe discrète et la
géométrie algébrique.

Le but du projet DIMERS est d'étudier plusieurs aspects des modèles de dimères
et des modèles de mécanique statistique qui y sont liés : formes limites et
fluctuations, dynamique, intégrabilité et connexion avec la théorie de jauge.
Les objectifs sont séparés en cinq axes complémentaires et interdépendants :

A) Formes limites et fluctuations
Cette tâche est dédiée aux problèmes liés à la limite déterministe de la fonction
de hauteur codant les configurations de dimères, ou la courbe arctique séparant
les régions aux comportements locaux différents, ainsi que les fluctuations autour
de ces limites. Il s'agit d'établir des lois des grands nombres et théorèmes centraux
limites pour ces objets géométriques aléatoires.

B) Téorie de jauge
Cette tâche traite du développement de techniques autour des opérateurs différentiels
discrets sur des fibrés au dessus de graphes et leurs application à l'étude
d'observables topologiques pour les doubles dimères, les forêts couvrantes et les modèles qui
y sont reliés.

C) Dynamique
Cette partie se focalise sur divers aspects dynamiques de ces modèles :
temps de mélange de la dynamique de Glauber, algorithme de simulation
parfaite de configurations aléatoires, mais aussi interprétation des dimères statiques
en dimension 2 comme l'évolution en temps imaginaire de systèmes quantiques
unidimensionels.

D) Mécanique statistique et integrabilité sur les graphes aléatoires
Cette partie est consacrée aux modèles de dimères et autres modèles Z-invariants sur
une famille de graphes planaires plongés, en relation avec les courbes spectrales,
l'analyse harmonique discrète et l'intégrabilité, ainsi qu'à l'étude des
s-embeddings de modèles d'Ising critiques sur des graphes planaires.

E) Modèles avec interactions
Cette partie vise à étendre les résultats des dimères à des modèles avec intéractions
qui n'ont plus de structure déterminantale.

Le consortium pluridisciplinaire qui s'est regroupé autour de ce projet
est composé de probabilistes, combinatoriciens
et physiciens. Plusieurs techniques seront combinées, des bijections
combinatoires à la théorie quantique des champs, en passant par la théorie des
représentations, la géométrie différentielle et l'analyse complexe discrète.
Cette multiplicité de techniques montre que ces modèles sont à la croisée de
plusieurs branches des mathématiques. Cette
mise en commun d'approches variées permettra d'obtenir des développements
importants sur les modèles de dimères mais aussi de favoriser la percolation des techniques
et des savoir-faires des différentes communautés, au niveau du consortium,
ainsi qu'à plus grande échelle.