CE40 - Mathématiques, informatique théorique, automatique et traitement du signal

Périodes en Géométrie Arithmétique et Motivique – PERGAMO

Résumé de soumission

Les périodes sont des nombres complexes, tels que les logarithmes des entiers, les valeurs multizêtas ou certaines amplitudes en théorie de cordes et en théorie quantique des champs, qui peuvent s'écrire comme des intégrales de formes différentielles algébriques sur des domaines définis algébriquement en n'utilisant que des coefficients rationnels. D'un point de vue moderne, ils apparaissent dans la matrice de l'isomorphisme de comparaison entre la cohomologie de de Rham algébrique et la cohomologie de Betti des variétés sur les corps de nombres. Grâce à cette interprétation, la théorie des motifs devient une arme puissante pour prédire toutes les relations algébriques entre ces nombres et, dans des cas favorables, les démontrer. Il s'agit d'un analogue, pour les nombres transcendants, de la théorie de Galois classique. En fait, tous les progrès récents dans l'étude des périodes, par exemple les théorèmes d'Ayoub (une version relative de la conjecture de Kontsevich-Zagier) et de Brown (tout multizêta peut s'écrire comme combinaison linéaire de ceux n'ayant que 2 et 3 comme exposants), sont le reflet de l'introduction de nouvelles idées et techniques motiviques. Ce projet JCJC vise à rassembler de jeunes chercheurs travaillant sur les motifs et les périodes sous des angles complémentaires dont l'interaction nous semble particulièrement prometteuse. Les membres du projet ont été sélectionnés en prenant compte des collaborations préexistantes et de la perspective d'en initier des nouvelles. Nous comptons aborder, entre autres, les questions suivantes: 1) Motifs de Tate mixtes – Donner des constructions géométriques des extensions de Q(0) par Q(n) et les relier aux preuves d'irrationalité des valeurs zêtas. Trouver des générateurs de la catégorie des motifs de Tate mixte sur les anneaux des entiers des corps cyclotomiques. 2) Amplitudes de Feynman motiviques – Étudier les motifs associés aux graphes de Feynman et la conjecture de coaction de Brown, Panzer et Schnetz selon laquelle les amplitudes de Feynman motiviques sont stables sous l'action de Galois. 3) Motifs exponentiels – Établir des relations du type "Newton au-dessus de Hodge" pour la filtration de Hodge irrégulière et les valeurs propres de Frobenius sur la cohomologie de de Rham associée à une variété lisse munie d'une fonction régulière. 4) Opérades, motifs et groupe de Grothendieck-Teichmüller – Expliquer le rôle des périodes dans les preuves de la formalité de l'opérade des petits disques. Étudier l'action du groupe tannakien des motifs de Tate mixte sur Z sur certaines opérades de la topologie algébrique. Calculer l'action de Galois sur les valeurs multizêtas apparaissant comme des "poids de Kontsevich" dans la quantification par déformation. 5) Groupe de Galois motivique en caractéristique positive – Continuer l'étude des foncteurs de réalisation à la de Rham sur les motifs en caractéristique positive. Établir la structure des algèbres de Hopf dérivées obtenues à travers le formalisme tannakien faible pour définir un groupe de Galois motivique et attaquer la version de la conjecture des périodes de Grothendieck dans ce cadre. 6) Périodes p-adiques – Utiliser les travaux récents de Bhatt-Morrow-Scholze pour étudier les aspects entiers des périodes p-adiques (e.g. les multizêtas). Comparer les structures rationnelles sur la cohomologie l-adique des variétés sur les corps de nombres provenant des cycles algébriques sur les réductions modulo p. 7) Invariants BCOV des variétés de Calabi-Yau arithmétiques – Calculer la constante manquante dans la preuve de la conjecture BCOV pour le pinceau de Dwork en termes de valeurs spéciales de la fonction gamma et expliquer le résultat dans l'esprit de la conjecture de Gross-Deligne en exhibant un motif à multiplication complexe. Entreprendre une étude similaire dans d'autres situations arithmétiques.

Coordination du projet

Javier Fresán (Centre de Mathématiques Laurent Schwartz de l'Ecole polytechnique)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

CMLS Centre de Mathématiques Laurent Schwartz de l'Ecole polytechnique

Aide de l'ANR 107 987 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2018 - 48 Mois

Liens utiles

Explorez notre base de projets financés

 

 

L’ANR met à disposition ses jeux de données sur les projets, cliquez ici pour en savoir plus.

Inscrivez-vous à notre newsletter
pour recevoir nos actualités
S'inscrire à notre newsletter