Modèles multi-échelles et simulation numérique hybride de semi-conducteurs – MoHyCon

Dans l’approche «Asymptotic Preserving«, notre but est de construire des schémas pour l’équation de Boltzmann linéaire pour les semi-conducteurs, préservant l’asymptotique vers la limite donnée par le
modèle de dérive-diffusion. Nous commencerons par considérer un modèle très simplifié, avec un opérateur de type BGK linéarisé. Le schéma construit aura pour limite une discrétisation de type Scharfetter-Gummel implicite de l’équation de dérive-diffusion. L’objectif principal sera alors de mener une étude complète et rigoureuse du caractère AP de la discrétisation obtenue, en adaptant au cadre discret des techniques utilisées au niveau continu : établir une propriété de dissipation discrète à partir de laquelle nous pourrons obtenir des estimations uniformes de la solution approchée qui nous permettrons de passer à la limite de diffusion dans le schéma.
Concernant la deuxième approche (décomposition de domaine), l’objectif est de mettre en place un modèle hybride couplant l’équation cinétique dans les régions faiblement collisionnelles et des modèles macroscopiques sur le reste du domaine. Nous nous intéresserons tout d’abord spécifiquement à l’étude de schémas pour le modèle de transport d’énergie, que nous serons ensuite amenés à coupler avec
d’autres schémas macroscopiques et cinétique dans notre méthode hybride. Un soin particulier sera apporté à l’implémentation afin d’obtenir un code robuste et efficace.

Concernant l'analyse de schémas numériques pour le modèle de transport d’énergie, M. Bessemoulin-Chatard, C. Chainais-Hillairet et H. Mathis ont proposé un schéma volumes finis compatible avec le passage en variables entropiques. Ce changement de variables
permet notamment d’obtenir une estimation d’entropie–dissipation discrète dont nous pouvons déduire des estimations a priori nécessaires pour l’étude du schéma. Un code 1D correspondant à ce schéma
est en cours d’écriture.

Concernant la construction et l'analyse de schémas AP pour des modèles simplifiés, M. Bessemoulin-Chatard, M. Herda (INRIA Lille) et T. Rey ont construit et analysé un schéma volumes finis 1D pour des
équations cinétiques linéaires (de type Fokker-Planck et BGK linéaire). Ils ont établi rigoureusement la préservation par le schéma de la limite de diffusion vers l’équation de la chaleur, ainsi que la caractère
hypocoercif (convergence exponentielle vers l’équilibre en temps long). Un article concernant ces travaux a été soumis en décembre 2018, et une page Jupyter Notebook permettant d’utiliser le code développé est accessible en ligne.

Concernant les schémas numériques pour le modèle de transport d'énergie, l'implémentation d'un code 2D sur maillage non structuré admissible est prévue dans les prochaines semaines. La rédaction de l’article correspondant à la construction et l'étude de ce schéma sera faite d’ici la fin de l’année 2019. Avec l’arrivée de Giulia Lissoni en post-doctorat à compter d’octobre 2019, nous prévoyons d’étendre ce
schéma au cadre DDFV, afin qu’il soit applicable sur des maillages plus généraux. Nous planifions de soumettre un proceedings sur le sujet pour la conférence FVCA9 (Bergen, Norvège, juin 2020).

Concernant la construction et l'analyse de schémas AP, la perspective naturelle est d'étendre nos premiers résultats à des équations cinétiques linéaires couplées avec l'équation de Poisson décrivant le champ électrique.

Enfin, concernant le modèle multi-échelle complet, un groupe
de travail sur les méthodes hybrides et la décomposition de domaine, incluant M. Bessemoulin-Chatard, A. Crestetto et H. Mathis, est prévu à partir de la rentrée 2019 afin de faire un état de l’art actuel précis.

Les détails sont disponibles sur la page web du projet : 6 articles parus ou à paraître dans des revues internationales à comité de lecture, 2 articles soumis, 2 communications dans des conférences avec proceedings, 6 communications sans proceedings dans des conférences internationales. Une page Jupyter Notebook avec le schéma AP développé et les cas tests correspondants est disponible en ligne.

Le projet MoHyCon concerne l'analyse et la simulation de méthodes numériques pour des modèles multi-échelles de semi-conducteurs. Les semi-conducteurs étant les matériaux de base de la plupart des constituants d'un ordinateur, leur modélisation et leur simulation sont primordiales pour l'industrie micro-électronique. Récemment, le développement des semi-conducteurs organiques utilisés par exemple dans les panneaux solaires a renforcé l'intérêt pour ce domaine d'étude.
Il existe toute une hiérarchie de modèles de semi-conducteurs, comprenant essentiellement trois grandes classes d'équations qui correspondent à différentes échelles de description : microscopique, mésoscopique et macroscopique. A l'échelle microscopique, les particules sont décrites individuellement, ce qui mène à un système énorme presque impossible à étudier et à implémenter. Nous nous intéresserons donc plutôt aux deux autres échelles. Les modèles considérés à l'échelle mésoscopique sont cinétiques de type Vlasov-Boltzmann, décrivant une distribution de particules soumises à des collisions binaires, ainsi qu'à un champ électrique auto-consistant. Ce type de modèle donne très précisément le comportement du semi-conducteur, mais peut s'avérer très compliqué et coûteux à mettre en œuvre. Lorsque la distance moyenne parcourue par une particule entre deux collisions devient petite, il est préférable de considérer des modèles fluides, décrivant des quantités macroscopiques. En fonction du nombre de moments considéré, différents modèles peuvent être obtenus, dont les plus courants sont celui du transport d'énergie, décrivant les densités de particules et d'énergie, et le modèle plus simple de dérive-diffusion où la température est supposée être une fonction donnée de la densité.
Dans ce projet, l'objectif est de construire et d'étudier rigoureusement des méthodes numériques pour ces modèles multi-échelles. Pour cela, nous allons considérer deux approches distinctes : des méthodes "Asymptotic Preserving" (AP) et des méthodes de couplage de modèles. L'idée des méthodes AP est de proposer un unique schéma, qui soit valide à toutes les échelles d'intérêt, sans avoir à imposer des conditions de stabilité restrictives sur les paramètres de discrétisation. Concernant les méthodes de couplage, elles consistent à décomposer le domaine d'étude en plusieurs sous-domaines sur chacun desquels le modèle le plus pertinent (cinétique ou fluide) sera considéré. Il s'agit alors de localiser précisément dans quelle zone utiliser quel modèle, et de définir des conditions de couplage correctes à l'interface entre deux régions.
Dans l'approche AP, notre but est de construire des schémas pour l'équation de Boltzmann linéaire pour les semi-conducteurs, préservant l'asymptotique vers la limite donnée par le modèle de dérive-diffusion. Nous commencerons par considérer un modèle très simplifié, avec un opérateur de type BGK linéarisé. Le schéma construit aura pour limite une discrétisation de type Scharfetter-Gummel implicite de l'équation de dérive-diffusion. L'objectif principal sera alors de mener une étude complète et rigoureuse du caractère AP de la discrétisation obtenue, en adaptant au cadre discret des techniques utilisées au niveau continu : établir une propriété de dissipation discrète à partir de laquelle nous pourrons obtenir des estimations uniformes de la solution approchée qui nous permettront de passer à la limite de diffusion dans le schéma.
Dans la deuxième approche, l'objectif est de mettre en place un modèle hybride couplant l'équation cinétique dans les régions faiblement collisionnelles et des modèles macroscopiques sur le reste du domaine. Nous nous intéresserons tout d'abord spécifiquement à l'étude de schémas pour le modèle de transport d'énergie, que nous serons ensuite amenés à coupler avec d'autres schémas macroscopiques et cinétique dans notre méthode hybride. Un soin particulier sera apporté à l'implémentation afin d'obtenir un code robuste et efficace.