Représentations de Banach p-adiques dans le Programme de Langlands p-adique – ProBaRe

Le but de ce projet est poursuivre l'exploration du Programme de Langlands p-adique dont le but est d'établir une correspondance entre certaines représentations de Banach p-adiques de groupes réductifs p-adiques et certaines représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique. Cette correspondance est intimement liée à la théorie de Hodge p-adique et devrait en particulier décrire les propriété p-adiques des familles de formes automorphes et de représentations galoisiennes, comme par exemple leur d'interpolation p-adique. Ce programme a été initié sous l'impulsion de Christophe Breuil au début du XXIème siècle et le cas des matrices 2x2 inversibles à coefficients p-adiques été complètement élucidé entre les années 2000 et 2010. Ce résultat a eu un impact considérable car il a permis de prouver deux importantes conjectures sur les représentations p-adiques de dimension 2 : la conjecture de Fontaine-Mazur et la conjecture de Breuil-Mézard. L'extension de ce programme à d'autres groupes est par conséquent un enjeu de taille en théorie des nombres et est probablement la clef permettant d'accéder à une compréhension bien plus profonde des propriétés p-adiques des représentations galoisiennes et des formes automorphes. Cependant l'extension de ce programme au delà du groupe GL2 se heurte à de nombreuses difficultés : même la formulation de la correspondance n'est pas claire. Un sérieux obstacle à la généralisation de ce programme se situe au niveau des représentations de Banach p-adiques des groupes réductifs p-adiques concernant lesquelles peu de théorèmes généraux sont connus. Ce projet a pour but de poursuivre cette recherche en se focalisant sur les propriétés des représentations de Banach p-adiques. L'objectif principal de ce projet est de comprendre la structure et les propriétés des représentations localement analytiques associées aux représentations de Banach p-adique en allant au delà du cas des représentations de pente finie. Un outil important dans cette étude est l'action du centre de Harish-Chandra sur ces représentations ainsi que leur dimension canonique.