Phénomènes de diffusion et de propagation près des horizons d'espace-temps – Horizons

Le sujet de recherche principal est l'application de méthodes d'analyse globale et asymptotique à la théorie quantique des champs sur espace-temps courbe et à la relativité générale, avec l'objectif d'étudier des phénomènes quantiques près et au-delà d'horizons.

Dans les dernières décennies, les méthodes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques et d'analyse microlocale ont amenées une bonne compréhension des aspects locaux en théorie quantique des champs en espace-temps courbe. Toutefois, les phénomènes les plus marquants sont susceptibles de se produire là où les aspects globaux et asymptotiques entrent d'une manière cruciale, ce qui géométriquement est souvent indiqué par la présence d'un horizon de l'espace-temps.

Le défi est donc de donner une description mathématique des champs quantiques dans le cadre de variétés à bord ou en présence d'un trou noir. Cette première classe comprend les espaces-temps asymptotiquement Anti-De Sitter, où le problème est l'horizon de type temps qui agit comme un miroir pour les singularités et joue un rôle fondamental dans la conjecture AdS/CFT. Des exemples particulièrement importants du deuxième type sont le trou noir de Kerr et de Kerr-De Sitter, qui servent comme arrière-plan pour l'étude de l'état quantique final résultant de l'effondrement gravitationnel.

À l'heure actuelle, l'analyse de l'équation des ondes, de Dirac ou d'Einstein est le sujet de progrès spectaculaires réalisés en surmontant les difficultés liées au trapping, à la super-radiance, aux bords et aux contraintes. Ce domaine de recherche actif, directement pertinent aux théories classiques, fourni les ingrédients essentiels comme les théorèmes de propagation de singularités, le comportement asymptotique de solutions, l'existence d'opérateurs de diffusion, la solvabilité de problème avancé/retardé/de Cauchy ou de diffusion inverse, ainsi que la construction de parametrices. La difficulté importante qui intervient dans l'étude des champs quantiques est la nécessité d'appliquer toutes ces techniques simultanément, alors que les interactions entre elles ne sont bien comprises que pour une classe d'exemples limitée. Cela engendre des difficultés sévères au niveau de la description ou définition même de théories quantiques sur des espace-temps non globalement hyperboliques (ou à bord) d'intérêt physique.

Une autre difficulté qui hante la théorie des champs depuis ses débuts est que les théories d'interaction sont représentées formellement par des équations différentielles non-linéaires, mais le terme non-linéaire doit être en fait renormalisé, ce qui conduit à une équation dont les solutions peuvent typiquement être obtenues uniquement comme séries formelles. L'étude de modèles Euclidiens suggère néanmoins des moyens de donner un sens intrinsèque à ces séries, des progrès importants peuvent donc être obtenus en créant des analogues hyperboliques d'outils comme les puissances complexes ou traces renormalisées d'opérateurs elliptiques. Ceci est important pour les applications en espace-temps courbe, où l'on recherche des moyens d'accoupler les champs quantiques à un fond géométrique dynamique.

L'idée consiste à observer que des progrès récents fournissent les ingrédients nécessaires à remplir ces lacunes, ce qui donne la perspective d'étendre la théorie des champs au-delà de cas bien connus ainsi que de comprendre comment les champs influencent l'espace-temps sur lequel ils propagent. Les méthodes clés qui seront développées formeront un mélange d'analyse asymptotique et globale et d'analyse microlocale. A l'aide de conditions au bord qui définissent un problème de Fredholm Lorentzien, cela permet d'analyser les équations hyperboliques de manière parallèle aux problèmes elliptiques connus et de leur théorie de l'indice.

Finalement, cette stratégie permettra d'étudier les champs quantiques dans de nouveaux contextes géométriques et ouvrera la possibilité d'analyser leur extension à travers l'horizon d'espace-temps.