Topologie symplectique, théorie microlocal des faisceaux et quantification – MICROLOCAL

Le projet Microlocal présenté ici a pour origine la découverte par Tamarkin, il y a quelques années, d'applications frappantes et inattendues de la théorie microlocale des faisceaux à la géométrie symplectique. Au cours des trois dernières décennies, la géométrie symplectique a fait preuve d'une capacité remarquable à établir des liens profonds avec d'autres domaines des mathématiques et des sujets avancés en physique théorique. Des techniques variationnelles nouvelles, la théorie des fonctions génératrices, la théorie des courbes pseudoholomorphes et la théorie de Floer ont fourni des interfaces fructueuses avec la théorie des systèmes dynamiques, la géométrie algébrique, la théorie de jauge et la théorie de la symétrie miroir. Les relations que la théorie microlocale des faisceaux crée entre la géométrie symplectique et l'algèbre homologique abstraite sont de la même veine et deviendront sans aucun doute le thème d'intenses activités de recherche dans les prochaines années. Elles offrent d'ores et déjà une approche radicalement nouvelle des phénomènes de rigidité en donnant des démonstrations originales de certaines des conjectures d'Arnold qui ont stimulé l'essor de la géométrie symplectique. L'objectif premier du projet Microlocal est de permettre aux mathématiciens français concernés de jouer un rôle moteur dans ces développements futurs.

La théorie microlocale des faisceaux, due à Kashiwara-Schapira, associe à tout faisceau sur une variété un microsupport qui est une partie conique de l'espace cotangent - conique signifiant que, hors de la section nulle, c'est le cône sur une partie du fibré cotangent en sphères. Le théorème fondamental d'involutivité de Kashiwara-Schapira dit que ce microsupport est coisotrope pour la structure symplectique canonique du cotangent. La théorie microlocale des faisceaux a de nombreuses applications, notamment à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires, à la théorie des représentations et à la théorie des singularités. Kashiwara-Schapira étudient aussi depuis plusieurs années ses applications à la quantification par déformation des variétés symplectiques complexes. La découverte clé de Tamarkin est qu'un certain nombre de variétés lagrangiennes intéressantes peuvent être réalisées comme le microsupport d'un faisceau et que cette propriété de quantification explique leur forte rigidité géométrique. Cette découverte a été confirmée et généralisée par Guillermou, Kashiwara et Schapira. Elle montre que la théorie microlocale des faisceaux a la particularité remarquable d'offrir un pont dans les deux directions entre l'algèbre et la géométrie.

Le dessein des participants à ce projet est d'explorer extensivement les perspectives ouvertes par ces développements. Trois domaines 'application de la théorie microlocale des faisceaux seront envisagés : les espaces cotangents, les variétés symplectiques générales et les variétés symplectiques complexes. Les mathématiques en jeu seront pour l'essentiel de la géométrie dans le premier cas, de l'algèbre dans le second et de l'analyse dans le troisième. Notre projet donnera ainsi à des mathématiciens appartenant à des communautés disjointes l'occasion et la motivation de travailler ensemble dans un but commun.