DS0704 - Fondements du numérique

Stabilité et commande de systèmes de dimension infinie – SCIDIS

Résumé de soumission

Le projet SCIDiS concerne l’analyse et le contrôle de systèmes de dimension infinie en utilisant la méthodologie Lyapunov. L'objectif est de fournir des méthodes génériques pour la construction fonctionnelles de Lyapunov. Plus précisément, un accent sera mis sur les relations entre les méthodes de Lyapunov pour les systèmes à retard, caractérisés par des équations différentielles héréditaires, et des systèmes à paramètres distribués, caractérisés par des équations aux dérivées partielles. Ces deux classes de systèmes donnent lieu à des systèmes à paramètres distribués dans le sens où les solutions évoluent dans un espace de dimension infinie. Ils apparaissent dans un grand nombre d'applications relevant de l’automatique comme par exemple en Ingénierie, en biologie avec la dynamique de populations, en informatique, etc.
La vision originale que nous proposons est d’étendre des méthodes et des outils établis pour l'analyse de la stabilité des différentes classes de systèmes à retard basés sur les extensions du théorème de Lyapunov au cas d’une classe plus générale de systèmes de dimension infinie. En effet, dans le contexte des systèmes à des retards constants linéaires et stationnaires, il est bien connu que la stabilité asymptotique est équivalente à l'existence d'une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii, dite complète. Malheureusement, le calcul des paramètres de cette fonctionnelle revient à résoudre une équation différentielle partielle matricielle, et est compliqué à obtenir. Plusieurs directions de recherche ont conduit à des méthodes d’approximation de ces paramètres suivant une méthode de discrétisation ou d'une optimisation polynomiale. Dans un travail récent développé par les membres du projet, une nouvelle méthode d’approximation de ces paramètres a été fournie sur la base d'approximations polynomiales sur des espaces de Hilbert muni d’un produit scalaire. Cette étape est réalisée grâce à une optimisation de l’approximation polynomiale de dimension finie de l'état fonctionnel. La nouveauté par rapport aux approches existantes est la possibilité de déterminer une borne supérieure de l’erreur d’approximation grâce à l'inégalité de Bessel ou à l'identité de Parseval. Cette contribution a ouvert une nouvelle orientation de la recherche sur les systèmes à retards dont le gain potentiel couvre une plus large classe de systèmes de dimension infinie.
Le projet SCIDiS vise à fournir des méthodes robustes pour la stabilité, le contrôle et l'observation de systèmes de dimension infinie, incluant, premièrement, différentes classes de systèmes à des retards (discrets / distribués, constant / variables dans le temps). La seconde et plus pertinente étape du projet concerne les extensions potentielles et les adaptations de ces résultats préliminaires à une classe plus générale des systèmes de dimension infinie caractérisés par des équations aux dérivées partielles du type hyperboliques. Le cas de systèmes à paramètres distribués couplés avec des équations différentielles ordinaires pourra aussi être également étudié.
Une autre direction de recherche envisagée est liée au problème du contrôle de systèmes Cyber-Physiques en incluant une analyse de la robustesse d’implémentations numériques à travers deux aspects. Le premier aspect est lié à la mise en œuvre du contrôleur de dimension infinie comme le prédicteur de Smith. Il est bien connu que cette classe de contrôleurs est très sensible aux incertitudes du modèle et à l’implémentation numérique, ce qui motive notre étude. Le deuxième aspect est lié à la prise en compte de l’effet d’un échantillonnage sur les actionneurs ou les capteurs.
Le projet SCIDiS sera un outil qui consolidera les activités de l'équipe MAC du LAAS sur l’étude des systèmes de dimension infinie et le contrôle de systèmes échantillonnés. SCIDIS a pour but de tirer parties des recherches théoriques pour l'analyse et le contrôle des méthodologies pour les systèmes linéaires à retards aux systèmes à paramètres distribués.

Coordination du projet

Alexandre Seuret (Centre National de la Recherche Scientifique - Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systemes)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

CNRS/LAAS Centre National de la Recherche Scientifique - Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systemes

Aide de l'ANR 157 188 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2015 - 48 Mois

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