Diffusion de l'énergie dans des systèmes hamiltoniens bruitésés – EDNHS

Les buts du projet sont de fournir des résultats rigoureux dans un domaine où les résulats numériques sont trop controversés et les discussions théoriques trop spéculatives; de développer des méthodes provenant de la communauté probabiliste pour des systèmes plus proches de systèmes déterministes.

Le principal achèvement a été la confirmation rigoureuse des prédictions de Herbert Spohn sur la nature de la superdiffusion pour une chaîne harmonique perturbée par un bruit conservatif. ces résultats ont été étendus dans le régime faiblement harmonique confirmant une certaine forme d'universalité.

La prochaine étape consiste à étendre ces résultats dans le régime de forte non linéarité et de préciser sur des bases solides la nature de la superdiffusion au delà de résultats numériques ou de discussions heuristiques.

[BGJ1] C. Bernardin, P. Gonçalves, M. Jara. 3/4-fractional
superdiffusion in a system of harmonic oscillators perturbed by a
conservative noise. Arch. Ration. Mech. Anal. 220 (2016), no. 2,
505–542.
[BGJ2] C. Bernardin, P. Gonçalves, M. Jara. Weakly harmonic
oscillators perturbed by a conserving noise, to appear in Ann.
Appl. Probab., (2017).
[BGJSS] C. Bernardin, P. Gonçalves, M. Jara, M. Sasada, M.
Simon. From normal diffusion to superdiffusion of energy in the
evanescent flip noise limit. J. Stat. Phys. 159 (2015), no. 6,
1327–1368.
[BGJS1] C. Bernardin, P. Gonçalves, M. Jara, M., Simon.
Interpolation process between standard diffusion and fractional
diffusion, to appear in Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist.,
(2017).
[BGJS2] C. Bernardin, P. Gonçalves, M. Jara, M., Simon.
Nonlinear Perturbation of a Noisy Hamiltonian Lattice Field
Model: Universality Persistence, online at HAL and submited,
(2017).
[BGS] C. Bernardin, P. Gonçalves, S. Sethuraman. Occupation
times of long-range exclusion and connections to KPZ class
exponents. Probab. Theory Related Fields 166 (2016), no. 1-2,
365–428.
[BHLLO] C. Bernardin, F. Huveneers, J.L. Lebowitz, C.
Liverani, S. Olla. Green-Kubo formula for weakly coupled system
with dynamical noise. Communications in Mathematical Physics,
Springer Verlag, 2015, 334 (3), pp.1377-1412.
[BO] C. Bernardin, B. Oviedo Jimenez. Fractional Fick's Law for
the Boundary Driven Exclusion Process with Long Jumps, ALEA
Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 14 (2017), no. 1, 473–501.
[DDHS] W. De Roeck, A. Dhar, F. Huveneers, M. Schuetz. Step
density profiles in localized chains. J. Stat. Phys. 167 (2017), no. 5, 1143–1163.
[GJS] P. Gonçalves, M. Jara, M. Simon. Second Order
Boltzmann–Gibbs Principle for Polynomial Functions and
Applications. J. Stat. Phys. 166 (2017), no. 1, 90–113.

La compréhension profonde des mécanismes responsables d'une diffusion normale ou anormale de l'énergie dans un système d'oscillateurs couplés est l'une des plus importantes questions de la mécanique statistique hors équilibre, que ce soit dans la littérature mathématique ou physique théorique. Une description phénoménologique a été proposée (voir par exemple [Derrida-Dhar-Saito]) et certaines prédictions théoriques sont disponibles ([Spohn]) mais les preuves mathématiques constituent un réel défi. Durant les dernières années, pour attaquer le problème de manière rigoureuse, il a été proposé de remplacer les chaînes purement déterministes par des modèles hybrides : un bruit stochastique conservatif (en énergie et parfois aussi en le moment) est superposé à la dynamique Hamiltonienne. Il apparaît alors que, comme prouvé dans le cas harmonique par Basile, Bernardin et Olla, ces systèmes Hamiltoniens bruités se comportent qualitativement de manière similaire aux systèmes déterministes. Les propriétés de diffusion de l'énergie dans les modèles hybrides sont dues à une subtile interaction entre la partie Hamiltonienne et la partie stochastque. Ces propriétés ne sont pas reproduites par des systèmes purement stochastiques.

Bien que l'étude des systèmes hybrides soit plus simple que celle des systèmes déterministes, ces premiers sont sources de beaucoup de problèmes intéressants, difficiles et de ce fait largement ouverts, surtout dans le cas anharmonique. Nous prévoyons de travailler sur ces problèmes pour les modèles introduits par Basile, Bernardin et Olla mais aussi pour certaines variations considérées récemment par Bernardin et Stoltz. Ces systèmes bruités seront étudiés via les techniques introduites par Varadhan et Yau au milieu des années 90 et actuellement développées dans le contexte des limites d'échelles pour des systèmes de particules en interaction. Le développement de ces techniques à des situations toujours plus complexes est un champ de recherche très actif et leurs applications aux modèles hybrides donnent lieu à plusieurs difficultés.

Pour faire bref, nous sommes intéressés par : les limites hydrodynamiques (systèmes hyperboliques de lois de conservation) dans l'échelle de temps hyperbolique après les chocs; le comportement de la conductivité thermique dans la limite de couplage faible (interaction faible) et dans la limite de petit bruit; l'effet du désordre (par exemple masses aléatoires) sur les propriétés de transport du système bruité (interaction entre le bruit et les phénomènes de localisation à la Anderson); l'étude des fluctuations anormales de l'énergie.

Afin de finaliser ce projet, nous combinerons des aptitudes et des techniques complémentaires provenant de quatre mathématiciens spécialisés dans les limites d'échelles pour les systèmes de particules en interaction, deux physiciens mathématiciens spécialisés en mécanique statistique hors équilibre et un physicien. Une étudiante en thèse (qui soutiendra le 17 juin 2014) viendra compléter l'équipe. Le projet étant à l'interface de la physique et de la mathématique, l'échange d'idées provenant des deux communautés est selon nous une nécessité.