Méthodes Stochastiques en Mécanique Quantique – StoQ

La mécanique quantique est déterministe et probabiliste par nature, mais jusqu'à récemment, les outils des processus stochastiques ont été sous-utilisées en mécanique quantique. La situation a changé rapidement au cours des dernières années. Des progrès expérimentaux dans la réalisation de systèmes quantiques stables et contrôlables ont donné un nouvel élan pour étudier des territoires inexplorés de la dynamique quantique ; ils fournissent une occasion unique de développer et de tester de nouvelles idées mathématiques portant sur les systèmes quantiques ouverts. De nouvelles approches issues de la théorie des probabilités ont ainsi vu le jour, comme : la théorie du bruit quantique appliquée aux dynamiques quantiques hors équilibre, la théorie des matrices aléatoires en théorie de l'information quantique, les trajectoires quantiques et les équations différentielles stochastiques quantiques appliqués aux systèmes quantiques ouverts et contrôlables, les marches aléatoires quantiques et leur utilisation pour les algorithmes quantiques, etc. Ce mélange remarquable d'idées mathématiques et physiques est à l'origine de l'extraordinaire efficacité qui caractérise ce domaine scientifique. Il est d'une importance pratique croissante et en même temps offre une source vitale d'idées et d'inspirations nouvelles pour ceux qui travaillent dans des directions plus abstraites.
Notre projet vise à systématiser et à développer l'utilisation d'outils stochastiques pour la physique quantique moderne. Notre équipe regroupe des mathématiciens et des physiciens théoriciens qui ont tous joué un rôle notable dans les dernières avancées sur les méthodes stochastiques appliquées à la mécanique quantique et aux systèmes quantiques ouverts. Nous souhaitons développer des synergies pour nous attaquer aux problèmes difficiles de la physique quantique moderne en utilisant des approches probabilistes.
Nos objectifs sont centrés autours des objectifs suivants.
- Nous souhaitons obtenir les premiers résultats rigoureux sur les systèmes quantiques ouverts hors d'équilibre, par un recours systématique aux bruits quantiques et aux interactions répétées quantiques. Comme cela s'est fait depuis 20 ans en mécanique statistique classique avec les équations de Langevin classiques, nous voulons modéliser les effets des bains de chaleur quantiques par des équations de Langevin quantiques. Cela devrait ouvrir la porte à des modèles mathématiques calculables de la dissipation quantique.
- Nous voulons développer ce qui constitue certainement l'une des approches les plus originales et puissantes aux récentes conjectures en théorie de l'information quantique : l'utilisation de matrices aléatoires, des probabilités libres et des outils des algèbres d'opérateurs. Tous les membres de ce projet qui sont impliqués dans la théorie de l'information quantique sont des pionniers de cette ligne de recherche et ont déjà commencé à obtenir des résultats importants et reconnus.
- Nous voulons développer les fondements mathématiques des trajectoires quantiques ainsi que leurs domaines d'applications. Les trajectoires quantiques jouent un rôle important dans l'analyse d'expériences fondamentales de la physique mais, en raison des techniques difficiles de calcul stochastique et de théorie du contrôle stochastique qu'ils impliquent, ils constituent un défi mathématique important.
- Nous voulons développer les applications des marches aléatoires quantiques ouvertes. Certains d'entre nous ont été récemment impliqués dans l'émergence de ce nouveau type prometteur de marches aléatoires quantiques, qui prennent en compte la dissipation. Elles pourraient être la généralisation quantique naturelle des chaînes de Markov. Nous espérons qu'ils fournissent des outils puissants pour obtenir des modèles accessibles de systèmes hors d'équilibre et nous espérons les utiliser pour définir analogue quantique des processus d'exclusion.