Renormalisation et théorèmes limites en théorie ergodique (VALET=Vershik's automorphisms, limits in ergodic theory) – VALET

Le projet renormalisation et théorèmes limites en théorie ergodique est un projet en Mathématiques. Ce projet est centré sur les systèmes dynamiques mais il est à la frontière de la dynamique, de la géométrie, de la géométrie algébrique, de la combinatoire et de la théorie des représentations.

Considérons un flot préservant une mesure de probabilité ergodique. On peut associer à ce flot des variables aléatoires en considérant ses intégrales ergodiques. Un théorème limite en théorie ergodique concerne le comportement des points d'accumulation de ces variables aléatoires renormalisées. Pour les systèmes hyperboliques et partiellement hyperboliques, ces problèmes ont été fortement étudiés, mais on sait beaucoup moins de choses pour les systèmes dynamiques paraboliques. L'outil principal pour étudier ces problèmes est la renormalisation. Dans ce projet nous envisageons d'étudier différents flots et la renormalisation associée dans le but d'obtenir des théorèmes limites. Nous avons séparés les taches en trois parties.

Dans la première nous considérons des systèmes dynamiques ou la renormalisation n'est pas bien comprise. Dans la seconde nous nous concentrons sur le flot de Teichmüller. Enfin nous étudions des actions de groupe.

Le lien entre les différentes parties du projet est le concept fondamental d'automorphismes de Vershik (aussi appelé transformations adiques). Par le théorème de Vershik-Livshitz les susbtitutions sont naturellement isomorphes à des transformations adiques et une construction analogue peut être donnée pour les pavages. De plus comme l'a montré le coordinateur du projet les flots de translation sur une surface plate admettent une représentation naturelle comme flot de suspension au dessus d'automorphismes de Vershik correspondant aux diagrammes de Bratelli donnés par la renormalisation de Rauzy Veech.Enfin l'étude des mesures ergodiques sur l'espace des matrices peut naturellement se formuler en termes de "graphes de spectre".

Les objectifs dépendent des taches. La première concerne des actions de Z ou de Z^2. La dynamique symbolique peut servir à obtenir de nouveaux résultats. Nous étudions trois systèmes: le billard, les isométries par morceaux et les pavages.
Dans ces trois cas nous voulons décrire une renormalisation. Dans la deuxième tache, le but est de continuer l'étude du flot de Teichmuller dans trois directions: l'étude des espaces de modules, le calcul des exposants de Liapounoff et les homéomorphismes pseudo Anosov.
Dans la troisième tache on considère des actions de groupe sur différents espaces: le groupe modulaire, le flot horcyclique et les mesures sur l'espace des matrices infinies.

Les problèmes que nous envisageons sont très ambitieux et nécessitent de nombreuses approches différentes. Nous espérons que les talents coordonnés des partenaires du projet permettront d'attaquer ces problèmes de front.

Ps: VALET est l'acronyme de Vershik automorphisms, limits in ergodic theory.