Géométrie des orbites nilpotentes et théorie des représentations – NilpOrbRT

On combine différentes approches: en théorie de Lie (les propriétés structurelles des algèbres de Lie et leurs orbites adjointes sont décisives), en géométrie algébrique (les propriétés des groupes algébriques) et aussi en combinatoire. Les méthodes combinatoires s'avèrent souvent nécessaires pour obtenir des résultats plus précis. Cependant elles exigent de se placer dans des cas particuliers (au moins les cas classiques).

Un théorème a été obtenu qui montre l'existence de pavages affines dans les cas classiques pour certaines variétés qui généralisent les fibres de Springer. Ce théorème généralise un résultat classique de De Concini, Lusztig et Procesi.

Il semble intéressant d'étudier si le théorème mentionné dans la section «Résultats« précédente peut être généralisé dans le cadre des fibres de Springer affines.
D'autres travaux en cours concernent l'étude des représentations de Springer, notamment leur induction dans le cadre des paires symétriques.

Une prépublication intitulée «Partial flag varieties and nilpotent elements« est disponible sur le site arXiv (référence 1305.3355).

Ce projet porte sur un problème de mathématiques fondamentales. Les sujets abordés sont à l'interface entre la théorie des représentations, la théorie de Lie et la géométrie algébrique complexe. Plus précisément, on étudie des interactions entre ces domaines. L'algèbre de Lie d'un groupe algébrique réductif contient toujours un nombre fini d'orbites nilpotentes. Depuis 35 ans, ces dernières se sont avérées jouer un rôle important dans la théorie des représentations du groupe. L'objectif du projet est d'étudier certains aspects géométriques des orbites nilpotentes au travers de leur lien avec la théorie des représentations. On abordera principalement deux aspects: l'étude de la géométrie des variétés orbitales et l'étude des représentations des W-algèbres. Les variétés orbitales sont des sous-variétés Lagrangiennes des orbites nilpotentes, qui s'interprètent comme les analogues géométriques des idéaux primitifs de l'algèbre enveloppante. On étudiera plusieurs conjectures sur les inclusions entre adhérences de variétés orbitales pour le type A, à la lumière de résultats récents de Hinich et Joseph. Une W-algèbre est une algèbre associative associée à la donnée de l'algèbre de Lie et de tout élément nilpotent. Pour cette algèbre, on étudiera la théorie de plus haut poids développée récemment par Brundan, Goodwin et Kleshchev. Enfin, on cherchera à construire des quantifications algébriques des W-algèbres, explicites et pratiques à manipuler, avec comme inspiration la construction de quantifications géométriques des W-algèbres récemment obtenue par Losev.