Traitement Statistique du Signal en grandes dimensions – DIONISOS

Les grandes matrices aléatoires sont liées à de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Cet important outil n'a été introduit dans les sciences et technologies de l'information que vers la fin des années 90, dans le domaine des communications numériques. Exception faite de certains travaux de Girko, les grandes matrices aléatoires ont été introduites encore plus récemment dans le domaine du traitement statistique du signal. Elles s'avèrent utiles quand l'observation est un signal multivariable (y(n), n=1,..,N) de grande dimension M et que la taille de l'échantillon disponible N est du même ordre de grandeur que M. Ce contexte général pose des problèmes statistiques nouveaux et difficiles qui constituent des objets d'études pour les chercheurs de la communauté des statistiques en grandes dimensions. La question la plus emblématique de ce type est l'estimation de la matrice de covariance de l'observation car, lorsque M et N sont du même ordre de grandeur, la matrice de covariance empirique, c'est-à-dire la moyenne des matrices y(n)y(n)*, constitue un estimateur de mauvaise qualité.

Dans le contexte de ce projet, la dimension de l'observation correspond au nombre d'éléments d'un grand réseau de capteurs tandis que les composantes de y(n) représentent la valeur du signal prélevé à l'instant n sur les différents capteurs. Un grand nombre de techniques fondamentales de traitement statistique des signaux multivariables (détection de sources, localisation de sources par méthodes sous-espaces, séparation aveugle de sources, estimation entrainée et aveugle de filtres prédicteurs linéaires,...) ne fonctionnent plus lorsque M et N sont du même ordre de grandeur, situation que l'on modélise classiquement par le régime asymptotique M et N tendent vers l'infini de telle façon que le rapport M/N tende vers une constante non nulle. Le but de ce projet est de mettre en évidence de nouvelles techniques mathématiques permettant la mise au point d'algorithmes améliorant les performances des approches traditionnelles dans le régime asymptotique défini plus haut.

La tâche 1 consiste en une analyse de la littérature mathématique des grandes matrices aléatoires et des statistiques en grande dimension permettant la mise en évidence des résultats mathématiques nouveaux qui sont nécessaires dans le projet.

La tâche 2 est consacrée à des questions fondamentales d'inférence statistisque liées à ce que l'on appelle le modèle de traitement d'antenne bande étroite. Bien que certaines d'entre elles aient été étudiées récemment dans le régime asymptotique considéré, un important travail reste à accomplir. La tâche 2-1 revisite des problèmes de détection et d'estimation classiques dans le cas où M et N sont du même ordre de grandeur. La tâche 2-2 a pour but d'adapter certains algorithmes de séparation aveugles de sources dans le régime asymptotique considéré. Pour cela, il est nécessaire d'étudier le comportement de nouveaux types de grandes matrices aléatoires, par exemple la matrice de covariance empirique associé au vecteur obtenu en effectuant le produit de Kronecker de y(n) avec lui-même.

La tâche 3 s'intéresse au cas de sources large bande dont les contributions à l'observation sont définies comme sortie d'un système 1 entrée / M sorties excité par un signal. Il est alors crucial d'estimer la matrice de covariance du vecteur de dimension ML obtenu en concaténant les observations entre les instant n et n+L-1. La tache 3-1 a pour but d'établir divers résultats mathématiques utiles: caractérisation de la distribution des valeurs propres de la matrice de covariance empirique associée, mise en évidence de stratégies d'estimation consistantes en norme par seuillage ou pondérations dans les domaines spatiaux et temporels. Ces résultats sont utilisés pour étudier la détection de sources large bande (tache 3-2) et l'estimation d'égaliseurs spatio-temporels entrainés et aveugles (tache 3-3).