Homéomorphismes symplectiques et hamiltoniens – Hameo

Les outils à notre disposition sont à la fois ceux de la topologie symplectique (théorie de Floer notamment) et ceux spécifique à la dimension 2 (théorie de le Calvez en particulier).

Des avancées significatives ont été réalisée en topologie symplectique C°. Dans une collaboration avec R. Leclercq (Paris 11) et S. Seyffadini (ENS), V. Humilière montre que la propriété d'être coisotrope (en particulier lagrangien) est C°-rigid.
E. Opshtein montre par ailleurs que les homéomorphismes symplectiques préservant une hypersurface induisent sur la réduction un homéomorphisme qui préserve la capacité.

Les travaux mentionnés plus haut ouvrent de nombreuses questions.
Par ailleurs, les membres du projets travaillent tous sur l'invariance topologique en dimension supérieur de certains invariants symplectiques.

Ce projet propose de rapprocher plusieurs mathématiciens issus de domaines mathématiques différents: géométrie symplectique pour V. Humilière et E. Opshtein, systèmes dynamiques topologiques pour F. Le Roux. L'objectif de ce rapprochement est d'étudier un certain nombre de problèmes où ces domaines interagissent et que nous allons décrire maintenant.

Le premier problème est l'étude de ce qui est appelé “géométrie symplectique C^0”. Il s'agit d'étudier les propriétés de rigidité pour la topologie C^0 qui apparaissent de manière surprenante dans le contexte purement différentiable qu'est la géométrie symplectique. En particulier, il existe des notions assez naturelles d'homéomorphismes symplectiques (issus des travaux de Gromov et Eliashberg) et d'homéomorphismes hamiltoniens (introduits par Müller et Oh), mais ces objets sont très mal compris. Notre deuxième problème est l'étude des groupes de transformations de surfaces préservant l'aire. La structure de ces groupes reste encore largement incomprise mais divers travaux récents (notamment de Polterovich, Entov-Polterovich, Franks-Handel, Oh) ont permis certaines avancées, donnant lieu à de nouvelles directions de recherche. Ces deux problèmes sont en fait très reliés. En particulier, les notions d'homéomorphismes symplectiques et hamiltoniens mentionnées plus haut interviennent dans les deux cas. Leur étude fait également apparaître à plusieurs endroits un objet encore bien mystérieux: l'énergie de Hofer des isotopies.

Nous espérons exploiter la complémentarité de nos cultures mathématiques pour effectuer des avancées substantielles sur ces problèmes. Nous proposons également d'organiser une conférence internationale regroupant des spécialistes des différents domaines, autour de ces thématiques.