Multifractales et Théorie Métrique de l'Approximation Diophantienne – MUTADIS

Dans beaucoup de domaines (géophysique, cardiologie, finance, trafic internet, ...), les données présentent des propriétés d'invariance d'échelle. Plus précisément, certaines quantités calculées à partir de ces signaux (variations locales, ...) ont des comportements très fluctuants, ce qui constitue une caractéristique de toute une famille d'objets mathématiques qu'on appelle multifractals. Une multifractale est une fonction, une mesure ou un processus stochastique (généralement possédant une nature auto-similaire) dont le comportement local varie fortement d'un point à un autre,

Les propriétés multifractales apparaissent dans beaucoup de domaines mathématiques: systèmes dynamiques, probabilités, analyse harmonique et plus récemment en théorie métrique des nombres. Le but de ce projet est l'étude des divers aspects des interactions entre l'analyse multifractale (plus généralement, la théorie géométrique de la mesure) et la théorie métrique de l'approximation diophantienne. Depuis les années 1990, de telles interactions ont été déterminantes lors de l'analyse de régularité locale de beaucoup de modèles mathématiques, donc nous souhaitons également développer, grâce aux résultats que nous obtiendrons, de nouveaux modèles multifractals.

Nous proposons quatre directions de recherche:

- Multifractales et approximation diophantienne: Récemment, plusieurs ponts ont été établis entre les multifractales et l'approximation diophantienne. Par exemple, l'approximation diophantienne hétérogène permet d'étudier l'approximation par des rationnels sous la contrainte que la fréquence des digits de ces rationnels (dans n'importe quelle base) est fixée à l'avance. Nous souhaitons pousser plus avant ces connexions, en étudiant des problèmes d'approximation hétérogène soumise à d'autres contraintes naturelles, et en obtenant des principes de transfert de masse liés à ces contraintes.

- Grandes intersections: Un ensemble E de R^d appartient à la classe des ensembles à grandes intersections de K. Falconer lorsque pour toute famille dénombrable (f_i) de similarités de R^d, la dimension de l'intersection des f_i(E) est égale à celle de E. Cette propriété remarquable a été prouvée pour de nombreux ensembles classiques en théorie des nombres (et est liée au principe de transfert de masse du point précédent), et joue un rôle prépondérant lors de l'analyse multifractale de beaucoup d'objets. Nous souhaitons vérifier ces propriétés pour d'autres ensembles très naturels, voir comment cette notion développée dans R^d s'étend à des ensembles à géométrie plus spécifique (à l'intérieur d'un ensemble de Cantor par exemple), et utiliser ces résultats pour analyser d'autres mesures ou processus.

- Approximation diophantienne dynamique: Etudier l'équi-distribution de l'orbite d'un point x sous l'action d'un système dynamique est un problème classique depuis Poincaré. Il y a eu récemment des découvertes remarquables pour les orbites de points sous l'action du décalage de Bernoulli sur l'intervalle [0,1], ces résultats faisant intervenir l'analyse multifractale. Nous souhaitons obtenir des résultats comparables pour des dynamiques plus générales (application de Markov expansive, de Gauss). De tels résultats auront des conséquences en théorie des nombres, l'application de Gauss étant liée au développement en fractions continues.

- Développement de nouveaux modèles multifractals: comme nous l'avons dit précédemment, depuis les années 1990, il a souvent été constaté que les propriétés de régularité locale de nombreux objets (séries de Fourier ou d'ondelettes, processus de Lévy, fonctions "typiques") sont liées à des questions d'approximation diophantienne généralisée, i.e. l'approximation par des familles autres que les rationnels. Nous utiliserons les résultats décrits plus haut pour éclaircir la nature multifractale de plusieurs objets classiques, et développer de nouveaux modèles (dont l'étude requiert de nouveaux outils en théorie métrique des nombres).