JCJC SIMI 1 - JCJC - SIMI 1 - Mathématiques et interactions

Multifractales et Théorie Métrique de l'Approximation Diophantienne – MUTADIS

Nous avons utilisé toutes les méthodes classiques en analyse multifractales, théorie ergodique et probabilités pour atteindre nos résultats. Nous avons également développé de nouvelles méthodes (grandes intersections et ubiquité conditionnée).

J. Barral encadre depuis 2 ans une thèse sur l’analyse multifractale de mesures discrètes.
J. Barral et S. Seuret ont essentiellement achevé l’analyse multifractale d’un nouveau modèle de séries d’ondelettes obtenues par percolation sur un arbre dyadique pondéré par une mesure de Gibbs.
Avec S. Jaffard (Créteil), A. Durand a étudié d'un point du vue multifractal certaines séries aléatoires (extension naturelle des séries de Davenport).
J. Barral, A. Durand et S. Seuret ont introduit un formalisme multifractal local adapté aux fonctions, mesures et distributions qui présentent des caractéristiques multifractales qui peuvent changer selon l'instant ou la position considérés. Ils ont développé ce formalisme dans un cadre général, et l'ont illustré au travers de plusieurs exemples pertinents de mesures et de fonctions.
En collaboration avec Y. Bugeaud (Strasbourg), A. Durand s'est intéressé à une conjecture de Mahler sur l'intersection de l'ensemble triadique de Cantor avec les ensembles de réels bien approche´s. Ils ont établi une conjecture sur la dimension de cet ensemble.
L. Liao a travaillé avec M. Rams (Varsovie) sur des avancées en approximation diophantienne classique.
S. Seuret, avec Y. Peres (IBM), J. Schmeling (Suède) et B. Solomyak (Washington), a calculé les dimensions d'ensembles fractals non-invariants apparaissant naturellement en systèmes dynamiques, liés aux moyennes ergodiques multiples de Birkhoff (étudiées par Füstenberg, Bourgain, Host-Kra,...). Sur le même sujet, L. Liao a étudié des moyennes ergodiques multiples associées à un IFS engendré par 2 contractions.
S. Seuret, avec T. Rivoal (DR Grenoble), a étudié certaines séries de Fourier « historiques » et a démontré l'existence d'équations fonctionnelles remarquables pour ces séries. Ils ont également lié ces séries à des développement en fractions continues.

Pour résumer, les membres du projet ont bien progressé dans toutes les directions de recherche qui étaient initialement annoncées dans le projet.

Publications:
- 2013: 10 articles dans des journaux internationaux (jusqu'à maintenant).
- 2012: 5 articles dans des journaux internationaux.

- Participation à 9 conférences (déplacement financé par le projet MUTADIS)

- Soutien financier et organisation de deux conférences.

Résumé de soumission

Dans beaucoup de domaines (géophysique, cardiologie, finance, trafic internet, ...), les données présentent des propriétés d'invariance d'échelle. Plus précisément, certaines quantités calculées à partir de ces signaux (variations locales, ...) ont des comportements très fluctuants, ce qui constitue une caractéristique de toute une famille d'objets mathématiques qu'on appelle multifractals. Une multifractale est une fonction, une mesure ou un processus stochastique (généralement possédant une nature auto-similaire) dont le comportement local varie fortement d'un point à un autre,

Les propriétés multifractales apparaissent dans beaucoup de domaines mathématiques: systèmes dynamiques, probabilités, analyse harmonique et plus récemment en théorie métrique des nombres. Le but de ce projet est l'étude des divers aspects des interactions entre l'analyse multifractale (plus généralement, la théorie géométrique de la mesure) et la théorie métrique de l'approximation diophantienne. Depuis les années 1990, de telles interactions ont été déterminantes lors de l'analyse de régularité locale de beaucoup de modèles mathématiques, donc nous souhaitons également développer, grâce aux résultats que nous obtiendrons, de nouveaux modèles multifractals.

Nous proposons quatre directions de recherche:

- Multifractales et approximation diophantienne: Récemment, plusieurs ponts ont été établis entre les multifractales et l'approximation diophantienne. Par exemple, l'approximation diophantienne hétérogène permet d'étudier l'approximation par des rationnels sous la contrainte que la fréquence des digits de ces rationnels (dans n'importe quelle base) est fixée à l'avance. Nous souhaitons pousser plus avant ces connexions, en étudiant des problèmes d'approximation hétérogène soumise à d'autres contraintes naturelles, et en obtenant des principes de transfert de masse liés à ces contraintes.

- Grandes intersections: Un ensemble E de R^d appartient à la classe des ensembles à grandes intersections de K. Falconer lorsque pour toute famille dénombrable (f_i) de similarités de R^d, la dimension de l'intersection des f_i(E) est égale à celle de E. Cette propriété remarquable a été prouvée pour de nombreux ensembles classiques en théorie des nombres (et est liée au principe de transfert de masse du point précédent), et joue un rôle prépondérant lors de l'analyse multifractale de beaucoup d'objets. Nous souhaitons vérifier ces propriétés pour d'autres ensembles très naturels, voir comment cette notion développée dans R^d s'étend à des ensembles à géométrie plus spécifique (à l'intérieur d'un ensemble de Cantor par exemple), et utiliser ces résultats pour analyser d'autres mesures ou processus.

- Approximation diophantienne dynamique: Etudier l'équi-distribution de l'orbite d'un point x sous l'action d'un système dynamique est un problème classique depuis Poincaré. Il y a eu récemment des découvertes remarquables pour les orbites de points sous l'action du décalage de Bernoulli sur l'intervalle [0,1], ces résultats faisant intervenir l'analyse multifractale. Nous souhaitons obtenir des résultats comparables pour des dynamiques plus générales (application de Markov expansive, de Gauss). De tels résultats auront des conséquences en théorie des nombres, l'application de Gauss étant liée au développement en fractions continues.

- Développement de nouveaux modèles multifractals: comme nous l'avons dit précédemment, depuis les années 1990, il a souvent été constaté que les propriétés de régularité locale de nombreux objets (séries de Fourier ou d'ondelettes, processus de Lévy, fonctions "typiques") sont liées à des questions d'approximation diophantienne généralisée, i.e. l'approximation par des familles autres que les rationnels. Nous utiliserons les résultats décrits plus haut pour éclaircir la nature multifractale de plusieurs objets classiques, et développer de nouveaux modèles (dont l'étude requiert de nouveaux outils en théorie métrique des nombres).

Coordination du projet

Stéphane SEURET (UNIVERSITE PARIS-EST CRETEIL VAL DE MARNE) – seuret@univ-paris12.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UPEC UNIVERSITE PARIS-EST CRETEIL VAL DE MARNE

Aide de l'ANR 60 000 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2011 - 48 Mois

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