Positivité en géométrie arithmétique, algébrique et analytique – POSITIVE

Les participants de ce projet sont principalement unis par des
questions de géométrie arithmétique dont la clef réside dans des
propriétés de positivité de certaines structures géométriques.
Cette positivité se traduit le plus
souvent en des conditions analytiques (existence de métriques sur
certains fibrés, inégalités de type lemme de Schwarz)
tant en géométrie complexe qu'en géométrie non-archimédienne.

Quatre grandes lignes structurent nos travaux:
1) Hyperbolicité et points rationnels
2) Transcendence et géométrie algébrique
3) Analyse pluriharmonique complexe ou non-archimédienne
4) Volumes algébriques et arithmétiques

1) Il s'agit d'étudier en quelle mesure la positivité du fibré
canonique influe sur l'existence de points rationnels
ou de courbes entières dans une variété algébrique projective. En
vue, il y a bien sûr les conjectures (inaccessibles?)
de type Bombieri-Lang, Vojta, Green-Griffiths (dans le cas où le
fibré canonique est positif) qui prédisent la rareté des points
rationnels ou des courbes entières, mais aussi des conjectures qui
prédisent l'existence dans le cas où le fibré canonique est trivial.
Nous étudierons aussi les variantes concernant les points entiers
ainsi que les questions de hauteurs sous-jacentes.

2) Depuis une vingtaine d'années et la création de la géométrie
d'Arakelov, les méthodes de transcendence ont été géométrisées et
l'on peut maintenant envisager d'étudier des situations géométriquement
plus complexes, et de prouver des théorèmes de type Lefschetz ou
GAGA. Le schéma de démonstration des preuves de transcendence
requiert des informations précises étudiées dans les thèmes 4) —
existence de petites fonctions auxiliaires — et 3) — estimation de
leurs dérivées. Dans la plupart des cas intéressants, toutes les
places, archimédiennes et non-archimédiennes, nécessitent une analyse
poussée.

3) L'analyse pluriharmonique est essentielle dans les développements
futurs de la géométrie d'Arakelov qui fait intervenir des choix de
métriques privilégiées sur des fibrés et des courants. Incorporer
des métriques singulières est souvent nécessaire; hormis en dimension
1 où il y a eu des progrès fondamentaux depuis 2005, son développement
aux places non-archimédiennes est encore dans les limbes.

4) Les espaces de sections de puissances de fibrés en droites
métrisés sont l'objet de base en géométrie diophantienne; l'existence
de petites fonctions auxiliaires est ainsi conditionnée par la
compréhension du volume algébrique (croissance de la dimension de
ces espaces) et du volume arithmétique (croissance du covolume d'un
réseau canonique). L'utilisation d'invariants plus subtils (comme
les polygones de Harder-Narasimhan...) est prometteuse.