Equations de Monge-Ampère complexes et Géométrie kählerienne. – MACK

De nombreuses questions de géométrie kählerienne se ramènent à résoudre certaines équations de Monge-Ampère complexes.
C'est le cas par exemple le cas de l'équation de Kähler-Einstein résolue par Aubin et Yau dans les années 70 dans le cas de courbure
négative ou nulle.

Le cas de courbure positive a motivé de nombreux travaux depuis (Siu, Yau, Tian, Nadel, Donaldson, Mabuchi, Phong-Sturm, etc) et est
encore largement ouvert en dimensions supérieures. C'est aussi le cas de l'étude du flot de Kähler-Ricci.

Il est devenu clair depuis quelques années qu'il est important d'étudier ces objets sur les variétés singulières. Lorsque l'on désingularise
la variété, les équations de Monge-Ampère complexes deviennent dégénérées: les métriques correspondantes ne sont plus que semi-
positives, ce qui conduit à considérer des solutions singulières. Il est donc nécessaire de développer des outils qui permettent de traiter
de telles situations dégénérées.

Entre temps la théorie du pluripotentiel locale s'est fortement développée après que Bedford et Taylor ont posé les bases de la théorie.
Ils ont réussi à définir et comprendre l'action de l'opérateur de Monge-Ampère complexe sur les fonctions pluri-sousharmoniques bornées.

Depuis de nombreux auteurs ont poussé cette analyse plus loin (Demailly, Fornaess-Sibony, Cegrell, Kolodziej,etc) afin d'élargir le domaine
de définition de cet opérateur non linéaire en permettant de l'appliquer à des fonctions de plus en plus singulières. Un des grands succès de
la théorie est la caractérisation complète de l'image de l'opérateur de Monge-Ampère complexe sur la classe des fonctions d'énergie finie
(Cegrell, Guedj-Zeriahi).

Les outils développés ont permis à Kolodziej de fournir une preuve alternative de la célèbre éstimée uniforme a priori de Yau, ouvrant la
voie à de nombreuses généralisations. Celles-ci n'ont été considérées que récemment, à cause de la complexité et de l'ampleur des
techniques nécessaires pour les mettre en place.

Noter but est de constituer un groupe d'experts français avec des compétences complémentaires, afin de commencer une étude systématique
des équations de Monge-Ampère complexes dégénérées sur les variétés kählériennes compactes, et d'appliquer cette étude en géométrie
complexe.