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Ecoulement de Fluides Complexes ‘en eaux peu profondes’: analyse mathématique et applications – SWECF

Résumé de soumission

L'analyse mathématique et numérique des modèles issus de la mécanique des fluides a connue récemment un regain d'activité important notamment autour de la mécanique des fluides compressibles et des écoulements à frontière libre. Le projet que nous souhaitons développer au sein de l'Institut Camille Jordan (UCB Lyon 1) s'inscrit dans cette démarche pour étudier par exemple l'écoulement d'une rivière, les avalanches de neige, les coulées de boues, la dérive de polluant,...Les applications attendues sont susceptibles de répondre à des problèmes de prévention des risques naturels et de gestion du territoire qui se posent naturellement au sein de la région Rhone Alpes. Pour améliorer la compréhension de ces écoulements, nous voulons développer des outils mathématiques et numériques complémentaires des méthodes expérimentales développées en partie au sein de la région Rhone Alpes (CEMAGREF, CEN, EPFL) mais aussi au niveau international (programme SATSIE d'analyse des avalanches). La principale caractéristique de la neige ou de la boue est qu'on peut les qualifier de fluides complexes. En particulier ces fluides sont non Newtoniens: le taux de déformation du fluide n'est pas proportionnel à la contrainte exercée sur ce fluide. Déterminer la loi de comportement d'un fluide ou étudier sa rhéologie, c'est établir une relation entre le taux de déformation du fluide et la contrainte exercée sur ce fluide. Comme pour les avalanches de neige où coexistent une couche de neige dense et une couche de neige poudreuse, la complexité de l'écoulement se manifeste également par une superposition de couches de fluides aux propriétés physiques différentes (densité, rhéologie,....). On modélise les écoulements considérés par les équations de Navier Stokes à surface libre: c'est un problème mathématique et numérique difficile à traiter notamment à cause de la frontière libre et de la complexité du fluide considéré. Cependant, les écoulements que l'on va étudier ont en plus la propriété d'avoir une hauteur caractéristique bien inférieure à l'échelle où l'écoulement a lieu. Ces écoulements sont donc peu profonds: cette caractéristique permet d'obtenir des modèles simplifiés: les équations de Saint Venant, portant sur la hauteur et la moyenne de la vitesse principale d'écoulement. On s'affranchit du problème de la frontière libre tout en diminuant la dimension du problème ce qui rend l'analyse mathématique et numérique plus simple. Nous souhaitons donc étudier des écoulements peu profonds de fluides complexes au moyen des modèles de Saint Venant en développant quatre axes principaux: 1) Obtention rigoureuse des équations de Saint Venant à partir des équations de Navier Stokes (hydrostatiques ou non hydrostatiques) à surface libre pour des fluides Newtoniens: le but est de montrer que dans le régime d'écoulement peu profond, les équations de Saint Venant fournissent une bonne approximation des équations de Navier-Stokes. En plus de produire un résultat de convergence rigoureux, nous souhaitons également valider numériquement cette étape pour déterminer quantitativement une limite de validité des modèles Saint Venant. 2) Modèles de Saint Venant pour des fluides non Newtoniens: les lois de comportements utilisées seront celles qu'on trouve dans la littérature et pour lesquelles on dispose de données expérimentales fiables (mesures sur des gels, mélanges eau/argile): on souhaite confronter les modèles obtenus avec les mesures expérimentales obtenues sur des écoulements peu profonds. En plus de l'analyse mathématique, nous voulons développer des méthodes numériques adaptées à ce type d'écoulements. 3) Modèles de Saint Venant à plusieurs couches: nous voulons étudier l'écoulement de plusieurs couches de fluides aux propriétés physiques différentes. Nous écrirons d'une part obtenir des modèles de Saint Venant multicouches pertinents à partir des équations de Navier-Stokes. L'autre objectif est de montrer qu'à l'aide de modèles de type Saint Venant multicouches et avec un nombre suffisant de couches, on peut décrire la dynamique d'un fluide de profondeur arbitraire (mais fini): nous ferons le lien avec les équations primitives et les équations géostrophiques stratifiées utilisées en océanographie et météorologie. 4) Analyse d'instabilités hydrodynamiques: on observe souvent dans les écoulements considérés des structures cohérentes (des ondes non linéaires) comme des ondes solitaires (mascaret), des rouleaux (roll-waves) et différents trains d'onde. Nous analyserons ces phénomènes à l'aide des modèles de Saint Venant: on étudiera le problème d'existence et de stabilité (et donc d'observabilité) de ces ondes non linéaires avec des méthodes (mathématiques et numériques) issues de a théorie des systèmes dynamiques et des EDP hyperboliques.

Coordinateur du projet

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

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Début et durée du projet scientifique : - 0 Mois

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