– FRAB

Nous envisageons de résoudre plusieurs problèmes fondamentaux liés aux questions de bases et de "repères" ("frames") dans les espaces de Banach de fonctions analytiques. Dans un espace de Hilbert, un "repère" est un système de vecteurs tel que les produits scalaires d'un vecteur donné avec ceux du système produisent des "coordonnées" dont la somme des modules au carré soit comparable avec la norme au carré du vecteur donné. Toute union finie de suites basiques de Riesz (c'est-à-dire d'images de suites orthonormales par des applications linéaires continues inversibles) produit un "repère" dans le sous-espace fermé qu'elle engendre. La conjecture dite de Feichtinger, qui postule que tout "repère" est une union finie de suites basiques de Riesz, a depuis peu attiré l'attention de nombreux analystes. En particulier, une réunion de travail réservée à des invités choisis, destinée à intensifier la recherche dans cette direction, a été organisée par l'American Institute of Mathematics (Stanford University, Palo Alto, automne 2006). De nombreux résultats dus aux participants (P. Casazza, V. Paulsen, Ch. Akemann et d'autres) mettent en évidence de nombreuses relations entre la conjecture de Feichtinger et d'autres problèmes célèbres de la Théorie des Opérateurs et de l'Analyse Harmonique. Par exemple, la conjecture de Feichtinger est équivalente à une conjecture qui généralise le théorème d'inversibilité restreinte de Bourgain-Tzafriri, et à la "conjecture de pavage" de Kadison-Singer, qui dit que étant donnée n'importe quelle contraction linéaire qui a des coefficients diagonaux nuls dans une certaine base, il existe une partition de la base en un nombre universel de morceaux tels que la compression de l'opérateur à l'espace vectoriel engendré par chaque morceau de la partition (ou mineur de la matrice engendrée par le morceau, si on préfère) admette une norme bornée par un demi. Le but de notre projet est de progresser dans l'étude du problème de Feichtinger-Kadison-Singer dans le contexte des espaces de fonctions holomorphes. La percée conceptuelle mentionnée ci-dessus, et la collaboration au sein de notre projet de spécialistes de différents domaines de l'analyse, nous permettent d'espérer des avancées importantes dans notre programme de recherche, qui inclut (1) l'étude de la conjecture de Feichtinger pour des systèmes de noyaux reproduisants dans divers espaces de fonctions analytiques, y compris les espaces de Fock et de de Branges; cela nous amène à traiter des problèmes d'échantillonnage et d'interpolation, déjà connus ou encore ouverts; (2) l'estimation des constantes de bases inconditionnelles pour différents types de bases, avec des applications (3) à la théorie spectrale des opérateurs de Toeplitz, aux semi-groupes d'évolution et à la théorie des systèmes; (4) au test du noyau reproduisant pour les opérateurs de Toeplitz et de Hankel. Nous utilisons dans le cadre du projet des méthodes très diverses provenant de l'analyse réelle et complexe, de l'analyse harmonique, et de la théorie des opérateurs. Ces méthodes incluent en particulier des techniques d'espaces de Bergman, les équations d-barre, l'approximation dans le plan complexe, la théorie du potentiel, la transformée de Hilbert, la théorie spectrale, et les calculs fonctionnels. Nos groupes de chercheurs basés à Marseille (groupe coordinateur), Bordeaux et Lyon participeront à toutes les tâches principales du projet. De plus, nous espérons collaborer dans le cadre de notre recherche à la fois avec des collègues étrangers (des Etats Unis, d'Espagne, de Norvège, de Suède, Canada, Angleterre) et des spécialistes des applications des techniques de repères ("frames") à la théorie des Systèmes Linéaires (INRIA, Sophia-Antipolis).