Groupe de recherche de Géometrie et Probabilités dans les Groupes – GGPG

Durant ces dernieres années, l'utilisation de methodes géométriques et probabilistes en théorie des groupes de type fini a rencontré un grand succés, et a permis de résoudre de nombreux problèmes importants. L'idée et de faire agir un groupe sur un espace métrique, et de déduire de la géométrie certaines propriétés du groupe. Souvent, cet espace se trouve etre le groupe lui meme, muni d'une metrique invariante, mais dans des cas interessants, l'espace métrique est un objet naturel, livré par la théorie étudiée. Cette approche s'appelle la ``Théorie géométrique des groupes'', est c'est un nouveau sujet de recherches tres prométeur, et provoquant beaucoup d'activité de part le monde. Ces toutes dernieres années, il y a eu de nombreuses importantes conferences internationales organisées sur ce thème (Bedlevo '04 ``Conference on geometric group theory'', Haifa '04 ``Groups, geometry and dynamics'', Geneva '05 ``Asymptotic and probabilistic methods in group theory'', Barcelona '05 ``Geometric group theory conference'', Ottawa '06 ``Geometric methods in group theory'', parmis d'autres), témoignant une grande activité, et des developements prometteurs. Le projet de l'équipe GGPG s'inscrit dans cette perspective. La théorie géométrique des groupes a de nombreuses applications, que l'on trouve, sans surprise, en géométrie, topologie, systèmes dynamiques, et topologie algebrique (géométrie et topologie des variétés de dimension 3 de de leurs généralisations, groupes de Lie, et leurs généralisations, théorie des noeuds et des tresses, K-théorie, conjecture de Baum-Connes, de Novikov, théorie ergodique, cohomologie des groupes, laminations des surfaces, et leurs généralisations ...) De manière tout à fiat interessante, la théorie géométrique des groupes a trouvé des applications dans plusieurs domaines moins attendus, tels que la logique du premier ordre, l'analyse non-standard, la cryptographie, l'algorithmie, la génétique, et l'informatique théorique. Nous avons l'intention d'étudier la géométrie asymptotique et les propriétés qui lui sont reliées, de plusieures classes de groupes, avec un interet particulier pour les groupes modulaires (mapping class groups) de surfaces hyperboliques. Le groupe modulaire d'une surface est le groupe des difféomorphismes préservant l'orientation, quotienté par le sous groupe normal des diffféomorphismes isotopes à l'identité. On s'interessera aussi a une autre classe tres analogue, celle des groupes d'automorphismes exterieurs des groupes libres: ce sont les quotients des groupes d'automorphismes, par les sous groupes d'automorphismes interieurs. Citons, entre autres problèmes et motivations que l'on peut rencontrer dans ce domaine, ces quelques problematiques. Un important problème est de comprendre les interaction entre les differents bords à l'infini de ces groupes. La topologie de ces objets est interessantes, car elle recelle souvent de profonde propriétés. En particulier, la connexité du bord des complexes des courbes, sur lesquels les groupes modulaires agisses, est une question ouverte. L'étude des liens entre les differentes constructions de bords est aussi souvent fertile. Un autre problème est de comprendre une possible alternative de Tits uniforme, dans l'esprit des résultats de E. Breuillard et T. Gelander pour les groupes lineaires. Un tel résultat produirait des informations importantes sur le trou spectrale de l'operateur Laplacien, et sur le comportement des marches aléatoires. Un troisieme objectif important est de comprendre la structure de l'ensemble des images d'un groupe dans un groupe modulaire. Cela permetrait des applications pour la conjecture de Shafarevich, et donnerait des informations sur l'existence de variétés de dimension 4 qui sont des surfaces fibrées en surfaces. Les techniques de H. Masur, Y. Minsky, B. bowditch, et U. Hamenstaedt pour comprendre le complexe des courbes, donnent l'espoir d'adapter des idées d'hyperbolicité relative pour ces problemes.