Intégration numérique géométrique des équations hamiltoniennes : applications à la simulation moléculaire et à la simulation d'ondes laser. – INGEMOL

Le projet INGEMOL concerne la simulation numérique d'équations différentielles par des méthodes dites géométriques, c'est-à-dire des méthodes privilégiant les propriétés qualitatives de la solution. L'accent est alors porté sur la pertinence « physique » des approximations obtenues en vue de leur application à la simulation moléculaire ou à la simulation d'ondes lasers dans des fibres optiques (il s'agit là des domaines privilégiés par le projet INGEMOL sans présumer des autres applications possibles en robotique, mécanique céleste, etc.) En dépit des avancées théoriques des vingt dernières années, avec notamment l'introduction des schémas symplectiques et leur étude via l'analyse rétrograde, des difficultés essentielles subsistent dans les situations où la théorie existante est mise en échec ; l'objectif du projet INGEMOL est de contribuer à la résolution de ces difficultés, dans les situations bien identifiées suivantes : 1. lorsque l'on a recours à des méthodes multipas -dont l'intérêt pratique est évident au vu de leur efficacité- pour des systèmes hamiltoniens, 2. lorsque l'on tente de résoudre l'équation de Schrödinger avec des méthodes dites de « splitting », 3. lorsque le système considéré possède des solutions hautement oscillantes. La prise en compte dans l'analyse théorique du caractère non-borné des opérateurs ou des fortes oscillations de la solution permet d'envisager dans un second temps la construction de schémas numériques adaptés, levant -partiellement ou totalement- les contraintes rencontrées pour les schémas actuellement utilisés. L'implantation de ces schémas et leur application dans les cadres applicatifs envisagés constitue la phase ultime et l'aboutissement escompté du projet.