Synthèse d'observateur pour des systèmes de dimension infinie – ODISSE

Le projet ODISSE est à la croisée des chemins des problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles (EDP) d’évolution et de la théorie des observateurs pour les systèmes dynamiques. Ces deux disciplines ont une longue et riche histoire d’interactions et leur chevauchement devient de plus en plus évident. Le projet ODISSE propose des contributions fondamentales et théoriques dans la conception d'observateurs pour reconstituer en ligne les paramètres manquants pour certains systèmes d'EDP et leur implémentation dans le cas d'exemples concrets.

En effet, pour analyser, surveiller ou contrôler les phénomènes physiques ou biologiques, la première étape consiste à fournir une modélisation mathématique sous la forme d’équations mathématiques décrivant l’évolution des variables du système. Certaines de ces variables sont accessibles par la mesure et d’autres non. L’un des problèmes de la théorie du contrôle est celui de la conception des algorithmes permettant de fournir des estimations en temps réel des données non mesurées à partir d’autres variables mesurées. Ces algorithmes d'estimation s'appellent des observateurs d'état et sont utilisés dans de nombreux dispositifs.

La mise en oeuvre de tels algorithmes dans le contexte des systèmes décrits par des EDP hyperboliques, qui sont des systèmes de dimension infinie en ce sens que la variable d’état du système appartient à un espace fonctionnel de dimension infinie, est un sujet de grand intérêt, tant du point de vue pratique que théorique. Les systèmes modélisés par des EDP hyperboliques, qui peuvent être d'ordre un ou deux, correspondent à des phénomènes de propagation d’ondes et apparaissent dans de nombreux phénomènes physiques et applications industrielles.

Le projet ODISSE vise à développer des outils méthodologiques rigoureux pour la conception d'algorithmes d'estimation pour des systèmes issus d’EDP hyperboliques, mettant particulièrement l’accent sur deux équations typiques : les équations de transport (EDP hyperbolique de premier ordre) et les équations d’ondes (deuxième ordre). Dans cet objectif, les propriétés d’observabilité de ce type de systèmes seront étudiées et de nouveaux outils développés. Plus précisément, le projet ODISSE a pour l’objectif de :
1- Trouver un moyen de relier la notion d'identifiabilité en problèmes inverses pour les EDP et celle d'observabilité pour la conception d'observateurs.
2- Pour les paramètres identifiables au sens des problèmes inverses pour les EDP, synthétiser un algorithme d'estimation robuste et en ligne.
3- Essayer d'intégrer dans l’étude des systèmes d'EDP les avancées récentes dans le domaine de la conception d'observateurs pour des systèmes non linéaires de dimension finie. Inversement, étudier l’utilisation éventuelle des outils issus de la dimension infinie dans la synthèse d'observateurs pour des systèmes de dimension finie.
4- Implémenter les algorithmes proposés et entreprendre une analyse de convergence des systèmes discrétisés (de dimension finie) vers les systèmes continus de départ (de dimension infinie).

Ces défis seront traités dans le projet ODISSE à travers une étroite collaboration entre des chercheurs en automatique et en mathématiques appliquées issus de la communauté des problèmes inverses et de la synthèse d'observateurs. Plusieurs applications de contrôle serviront de banc d’essai pour évaluer la pertinence pratique des outils théoriques qui seront développés. Plus spécifiquement, nous examinerons : les procédés de cristallisation en batch, les procédés de polymérisation et l’élastographie transitoire.