Fibrations et actions de groupes algébriques – FIBALGA

Dans ce projet, nous étudions des objets classiques de la géométrie algébrique, à savoir certaines variétés algébriques munies d'un action de groupe réductif, via différents points de vue : théorie de Mori (équivariante), géométrie algébrique réelle et géométrie algébrique sur des corps non parfaits, géométrie convexe, méthodes transcendantales , théorie des champs, etc.

Les détails de chaque activité scientifique (liste des orateurs, titres et résumés des interventions, liste des participants), organisées, co-
organisées ou soutenues financièrement par le projet FIBALGA depuis son démarrage, sont consultables sur le site web du projet : fibalga.math.cnrs.fr/ev.html

Une fois que nous comprenons la géométrie des objets, il est naturel de considérer les familles de tels objets et de voir comment leurs propriétés géométriques varient en famille. C'est exactement ce que nous avons l'intention de faire par la suite. En effet, le principal point commun entre les différents problèmes que nous considérons est le fait qu'ils impliquent tous certains types de fibrations (les fibrations de Mori, les S-variétés, la famille universelle sur un espace de modules ...) avec de nombreuses symétries. En particulier, pour les variétés sphériques cette approche en famille est assez récente et devrait beaucoup aider à mieux comprendre leur géométrie et leurs déformations.

Toutes les (pré)publications produites dans le cadre du projet FIBALGA sont listées sur le site web du projet :
fibalga.math.cnrs.fr/res.html

Le but de ce projet est de revisiter, clarifier et faire des progrès significatifs sur des problèmes classiques liés aux actions de groupes algébriques sur des variétés algébriques, au moyen des techniques les plus récentes développées en géométrie algébrique et complexe.

Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une structure de groupe donnée par des morphismes polynomiaux (par exemples les groupes matriciels classiques ou les groupes de symétries de certaines variétés compactes sont des groupes algébriques). L'étude des actions de groupes algébriques sur des variétés algébriques est un sujet ancien et classique en géométrie algébrique. L'utilisation systématique des groupes en géométrie a été initiée par Klein et Lie dans la seconde moitié du 19ème siècle et a marqué la naissance de la géométrie moderne. Beaucoup de conjectures de géométrie algébrique, ouvertes depuis des décennies dans le cadre général (par exemple la conjecture de Manin, le programme du modèle minimal, la symétrie miroir, etc), ont été vérifiées pour certaines classes particulières de variétés algébriques avec beaucoup de symétries, telles que les variétés toriques.

Classer les variétés algébriques à isomorphisme près est très difficile (déjà pour les surfaces), et en pratique on peut donc seulement espérer les classer à transformation birationnelle près : ce sont les transformations algébriques qui induisent des isomorphismes entre deux sous-ensembles ouverts denses. Le principal outil disponible pour atteindre une telle classification est la théorie de Mori (ou programme du modèle minimal), qui est présentement un domaine de recherche très actif, dont le but est de construire des modèles birationnels qui soient aussi simples que possible. Dans ce projet nous souhaitons classer et étudier la géométrie de certaines familles de variétés algébriques avec beaucoup de symétries en appliquant la théorie de Mori couplée à des techniques provenant de différents domaines de la géométrie algébrique et complexe, telles que les méthodes transcendantales et la théorie des champs algébriques.

Cette proposition de projet est centrée sur trois problèmes principaux concernant l'étude et la classification de certaines variétés algébriques avec la double spécificité d'avoir beaucoup de symétries et d'être munie d'une structure de fibration. On appelle S-variété une variété algébrique normale munie d'une action d'un groupe algébrique réductif et dont les orbites sont des espaces homogènes sphériques. Les S-variétés apparaissent dans de nombreuses situations, mais leur géométrie est encore très peu connue, excepté pour les variétés sphériques ou certaines T-variétés.

Les trois tâches suivantes constituent le coeur de cette proposition :
(1) Etudier et classer les groupes d'automorphismes infinis des fibrations de Mori obtenues à partir d'une variété algébrique X de dimension <5. Interpréter cette classification en termes de sous-groupes algébriques infinis de Bir(X).
(2) Décrire le programme du modèle minimal pour les S-variétés complexes et étudier la géométrie des S-variétés de Fano via des méthodes transcendantes.
(3) Décrire et classer les S-variétés sur des corps arbitraires. Construire leurs espaces de modules.

Cette proposition rassemble quatre jeunes chercheurs et deux chercheurs plus expérimentés, avec un solide bagage en géométrie algébrique et complexe, et dont les résultats récents donnent des pistes pour surmonter certaines des difficultés techniques et scientifiques que nous rencontrerons dans ce projet. On prévoit de se rencontrer régulièrement afin de bénéficier de l'expertise de chacun, partager les progrès faits dans chacune des trois tâches ci-dessus et mettre nos efforts en commun pour surmonter les aspects les plus difficiles de ce projet. Enfin, les meilleurs mathématiciens de l'étranger seront invités à poursuivre ou à commencer des collaborations avec les membres de ce projet sur des sujets liés à ces trois tâches.