Bords, oscillations et couches limites dans les systèmes différentiels – BORDS

Ce projet de recherche est motivé par deux faits. En premier lieu, de nombreux phénomènes physiques ou biologiques sont multi-échelles. Un point commun de ces systèmes est qu'ils font intervenir de fortes hétérogénéités : rugosités (fond marin), porosités (réservoirs de pétrole), ou oscillations dans leurs propriétés (métamatériaux, matériaux composites). En second lieu, beaucoup d'instabilités et de comportements singuliers (effets de pointe, création de vorticité dans les fluides) se développent près des bords et sont créés par une interaction subtile entre les conditions sur le bord, les non linéarités et les oscillations.

Alors que l'effet d'oscillations dans les coefficients d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) est à présent mieux compris, beaucoup moins de choses sont connues sur l'effet de singularités dans le domaine ou dans la donnée sur le bord. Notre projet est centré sur l'étude du comportement des solutions au voisinage du bord. Les oscillations dans le domaine ou dans la donnée sur le bord donnent lieu à des phénomènes de concentration.

Les objectifs principaux de notre projet de recherche sont : (i) d'étudier l'interaction entre oscillations, géométrie et non linéarités, (ii) de mieux comprendre l'effet des conditions sur le bord sur le comportement des solutions ou sur le spectre d'opérateurs en étudiant des cas singuliers ou dégénérés, (iii) de traiter le cas de domaines peu réguliers (Lipschitz, coins), (iv) de regrouper des experts en homogénéisation, en théorie spectrale et en mécanique des fluides pour étudier des phénomènes d'instabilités.

Nos directions de recherche sont :
[Données sur le bord singulières] Notre groupe va étudier des systèmes différentiels avec des données sur le bord singulières: données fortement oscillantes ou mixtes singulières. Notre but est d'analyser l'effet de fortes oscillations, ou de grands paramètres dans la donnée sur le bord, dans différentes géométries, en particulier dans des domaines peu réguliers ou avec des coins. Les singularités dans la donnée sur le bord conduisent à l'étude de problèmes de couche limite. Un de nos leitmotives est d'obtenir des estimations d'erreur et des formules permettant de calculer numériquement de façon efficace.
[Analyse asymptotique dans des domaines fortement oscillants] Des systèmes à frontière rugueuse ou désordonnée sont omniprésents dans la nature et dans l'industrie. Ils font intervenir des échelles variant de la microfluidique aux courants océaniques, et différents types de fluides (eau de mer, noyau liquide de la Terre, glaciers, polymères) ou de matière (cellules vivantes, aquifères). Notre objectif est double: analyser des problèmes mathématiques délicats pour les couches limites ou les interfaces, et utiliser nos progrès théoriques pour étudier des problèmes issus de la géophysique (courants océaniques, ondes de surface, écoulement des glaciers) ou de la biologie (électroporation, interfaces entre tissus).
[Instabilités en mécanique des fluides] Beaucoup d'instabilités naissent et se développent près des bords, en raison de l'interaction des conditions sur le bord et des nonlinéarités du fluide : instabilités à grand nombre de Reynolds, instabilités dues à l'élasticité dans les fluides viscoélastiques, instabilités favorisées par les rugosités. Ces instabilités se traduisent par la propagation d'ondes haute fréquence, entrainent des transferts d'énergie vers les petites échelles et conduisent à la transition vers la turbulence. Comprendre ces phénomènes est crucial pour beaucoup d'industries, en particulier l'industrie aéronautique. Le but de notre équipe est de les étudier dans trois contextes différents : (i) instabilités à grand nombre de Reynolds pour les fluides viscoélastiques, (ii) instabilités induites par les rugosités, (iii) instabilités en glaciologie. Ces projets vont bénéficier des progrès sur les deux premières directions et mobiliser tous les membres de notre équipe.