Fluides inhomogènes : modèles asymptotiques et évolution d'interfaces – INFAMIE

Ce projet a pour objectif une meilleure compréhension théorique de modèles de mécanique des fluides. A travers trois axes de recherche, nous souhaitons étudier des systèmes d'EDP régissant l'évolution de fluides non homogènes (qui peuvent être vus comme intermédiaires entre les fluides incompressibles homogènes et les fluides compressibles). Notre objectif est double. D'une part nous voulons développer la théorie classique pour les solutions régulières en proposant une nouvelle approche et des outils mathématiques susceptibles de dépasser le cadre strict de la mécanique des fluides. D'autre part, pour des systèmes particuliers décrivant l'évolution de flots dans l'environnement terrestre ou en astrophysique, nous souhaitons mettre en œuvre notre approche pour construire des solutions et en extraire le maximum d'informations qualitatives.
Notre premier axe de recherche vise à donner une justification rigoureuse et quantitative de l'utilisation dans certaines applications de modèles simplifiés issus par exemple du système de Navier-Stokes compressible complet. L’approche naturelle consiste à supprimer les termes supposés avoir une influence minime dans les régimes étudiés car correspondant à un effet physique très faible. C'est ainsi que l'on utilise des modèles incompressibles en météorologie bien que l'air ne soit pas incompressible. Nous chercherons par exemple à clarifier le domaine de validité de modèles utilisés dans l’asymptotique à faible nombre de Mach, dans la limite diffusive pour les fluides radiatifs, ou la limite semi-classique pour des fluides avec capillarité.
Notre deuxième axe concerne la dynamique des interfaces pour des mélanges entre plusieurs fluides ne réagissant pas entre eux. A la suite d'un travail récent de deux membres du projet reposant sur l'utilisation de coordonnées lagrangiennes, nous souhaitons étudier si le modèle global où l'on n'impose pas a priori les interfaces permet de rendre compte de l'évolution de mélanges. Aussi bien d’un point de vue théorique que pour les simulations numériques, les avantages de l’approche globale lorsqu’elle est possible sont importants : on résout un problème dans un domaine fixe au lieu d'un problème à frontière libre.
Notre troisième axe est l'étude de modèles de fluides dans des domaines bornés ou extérieurs, et la prise en compte des conditions aux limites données par la physique. Cela suppose dans un premier temps de développer des outils d'analyse adéquats. On pourra ensuite comparer les propriétés des solutions obtenues avec celles du cas sans bord.
Outre le champ d’application commun, les équations des fluides, le fil conducteur du projet est la volonté de travailler dans un cadre fonctionnel critique, c'est-à-dire respectant l'invariance par changement d'échelle des modèles. Ce choix est motivé par le fait que travailler avec des normes ou des quantités critiques lorsque cela est possible, donne le cadre optimal pour l'étude du problème de Cauchy associé aux équations, et des limites asymptotiques. Depuis les années 80 avec l'émergence de techniques issues de l'analyse de Fourier, cette approche a permis de faire des progrès très significatifs dans la résolution des systèmes régissant l'évolution de fluides. Malheureusement, elle est limitée à l'espace entier ou au cadre périodique. Pour l'étendre aux domaines, il faut trouver un substitut à l'analyse de Fourier, très certainement exportable à d'autres champs d'étude. Nous prévoyons entre autres d'explorer de nouvelles propriétés de régularité maximale parabolique restant valables dans des domaines (troisième axe), ou pour des coefficients peu réguliers (deuxième axe). Dans cette direction, des résultats préliminaires prometteurs ont été obtenus récemment par des membres de l'équipe.