Géométrie d'Arakelov et géométrie diophantienne – Gardio

Géométrie birationnelle, volume arithmétique

Géométrie des nombres, espaces adéliques rigides, minima successifs arakeloviens

Théorie des formes linéaires de logarithmes

1) Démonstration d'une version explicite de la conjecture de Mordell pour des familles assez générales de courbes de genre croissant dans le carré d'une courbe elliptique ayant un groupe de Mordell Weil de rang 1

2) Mise en évidence de liens entre variétés accumulatrices qui permettent d'interpréter le comportement asymptotique des points rationnels de hauteurs bornées

3) Elaboration d'une nouvelle forme de géométrie des nombres

Juin 2017 : Ecole d'été de trois semaines à Grenoble « Géométrie d'Arakelov et applications diophantiennes«

Mai 2018 : Conférence au CIRM «Géométrie diophantienne«

Pour les conférences, voir la page web du projet

math.univ-bpclermont.fr/~gaudron/Gardio/gardio.html

Après 18 mois, les membres du projet ont une trentaine de publications à leur actif.

Depuis la fin du xix ème siècle, l'analogie entre corps de nombres et corps de fonctions a joué un rôle crucial en géométrie arithmétique. Cette analogie s'est prolongée dans un cadre plus géométrique où les variétés sur un corps de fonctions ont donné naissance aux variétés arithmétiques sur l'anneau des entiers d'un corps de nombres. Pour la rendre plus satisfaisante, il convient de mettre sur le même plan les places archimédiennes et les places ultramétriques d'un corps de nombres. Les travaux d'Arakelov dans les années 70 ont été à l'origine de la compréhension du rôle que devaient jouer les plongements archimédiens du corps de nombres pour compactifier les variétés arithmétiques, donnant ainsi naissance à la géométrie d'Arakelov. Ces idées ont été la source d'inspiration de nombreux travaux, dont ceux de Faltings sur la conjecture de Mordell.

Parmi les ramifications de la géométrie d'Arakelov figure la théorie des pentes de Bost. Cette théorie a exercé une influence profonde sur la géométrie diophantienne en montrant comment obtenir des résultats explicites de manière intrinsèque et élégante. Elle a mis en lumière de nouveaux invariants arithmétiques comparables aux minima successifs de Minkowski, et qui sont plus maniables du point de vue géométrique. En s'appuyant sur ces résultats, des travaux récents de l'école française ont permis d'élaborer une nouvelle géométrie des nombres, dite absolue, sur des extensions algébriques quelconques du corps des nombres rationnels Q. Des échanges fructueux avec d'autres domaines, comme la théorie des nombres (les lemmes de Siegel en transcendance) ou la géométrie algébrique (algébricité des schémas formels), se sont alors instaurés, et ont conduit à de nombreuses applications à l’étude des problèmes diophantiens. La géométrie arithmétique birationnelle et, en particulier, l'étude du volume arithmétique des fibrés en droites hermitiens sur une variété arithmétique, ont également bénéficié de ces avancées. Plusieurs membres de ce projet ont déjà contribué de manière significative à ces développements.

Compte tenu de ces résultats, notre projet vise à développer cette géométrie des nombres absolue en ouvrant de nouvelles directions de recherche (par exemple, en établissant des liens avec la théorie des codes correcteurs) et à exploiter plus d'applications en géométrie d'Arakelov (invariants birationnels, comptage des points rationnels) et géométrie diophantienne (critères de transcendance, théorie des formes linéaires de logarithmes, problème de Lehmer). Pour mener à bien cette entreprise, des groupes de travail et de coordination (au moins un par an) ainsi qu'une école d'été et une conférence internationale sont programmés. Une attention particulière sera portée à la participation à nos travaux d'étudiants en thèse et de jeunes collègues ainsi qu'à la diffusion des résultats obtenus à la fois par le biais d'exposés dans les séminaires et colloques mais également au moyen d'un site internet dédié, permettant de rendre visibles nos activités.