Métriques extrémales et K-stabilité – EMARKS

La géométrie kählérienne est à l'intersection de différents champs de recherche en mathématiques théoriques. C'est un domaine très actif depuis 40 ans. Elle est intrinsèquement reliée à la géométrie symplectique, l'analyse complexe, la géométrie algébrique, la géométrie Riemannienne, l'analyse d'EDP, la théorie de la déformation, la Quantification et admet des applications dans tous ces domaines ainsi qu'en physique mathématique via la théorie des Cordes. L'origine de cette extraordinaire relation provient de la définition originale de variété Kähler qui permet de définir le tenseur métrique en utilisant une fonction potentiel, impliquant une longue liste de "miracles". Nous nous référons au papier de J-P. Bourguignon "The unbated vitality of Kahlerian geometry" (Oeuvres de E. Kähler, de Gruyter 2003) où l'importance de la quête de métriques Kahler à courbure spéciale et l'impact de la géométrie Kähler sur différents domaines scientifiques sont expliqués.

En partant de la définition même de variété Kähler, une question naturelle est de se demander si dans une classe Kahler donnée il existe une métrique canonique/naturelle. Au début des années 80, Calabi a précisé cette question et a suggéré les métriques extrémales comme candidats naturels. Ces métriques sont obtenues comme points critiques d'une fonctionnelle en la courbure scalaire et sont en fait solutions d'une EDP non linéaire du 4ème ordre. Les métriques Kähler-Einstein ou les métriques à courbure scalaire constante sont les exemples les plus communs de métriques extrémales. Depuis la percée de S.T. Yau dans les années 70 au sujet des équations d'Einstein de la relativité générale, la plupart des efforts dans le domaine sont reliés à la conjecture dite de Yau-Tian-Donaldson.

Étant donnée une variété projective X avec polarisation L, cette conjecture prédit qu'il existe une métrique extrémale dans la classe c1(L) si et seulement si (X,L) est K-polystable relativement à un tore maximal d'automorphismes. Mentionnons pour le moment que cette formulation est due à G. Székelyhidi et est basée sur les idées de G. Tian et S.K. Donaldson des 20 dernières années. Ensemble J. Stoppa et G. Székelyhidi ont confirmé que l'existence de métriques extrémales implique la K-polystabilité relative. Dans le contexte des métriques à courbure scalaire constantes, nous expliquerons les avancées très récentes sur la conjecture de Yau-Tian-Donaldson qui démontrent la grande vitalité du sujet.

La conjecture est toujours ouverte en ce qui concerne les métriques extrémales et beaucoup d'experts pensent que la notion de K-stabilité relative doit être renforcée. Nous souhaitons étudier cette conjecture de première importance sous différents aspects.

D'abord il est crucial d'obtenir de nouveaux exemples de variétés Kähler extrémales qui ne soient pas à courbure scalaire constante, i.e avec groupe non trivial d'isométries, et d'analyser les structures sous-jacentes. C'est l'un des objectifs de notre projet. À cette fin, nous allons étudier diverses géométries avec des symétries naturelles, en particulier les variétés toriques et sphériques, le processus de réduction symplectique en liaison avec les métriques Kähler, les orbivariétés compactes et les 2-formes hamiltoniennes. Il est naturel de généraliser ces recherches au cas Sasakien.
Un autre objectif de notre projet est de comprendre le comportement précis des métriques extrémales dans le cadre de problèmes géométriques naturels qui seront décrits dans le programme de recherche en détail. Entre autres, nous avons en tête d'élaborer une théorie reliant les métriques extrémales et les sous-variétés Lagrangiennes stationnaires qui donnerait des informations sur la géométrie des espaces de modules de tels objets.
Enfin, nous aimerions nous attaquer à des questions ouvertes au sujet des métriques extrémales, en particulier la possibilité d'un procédé de stabilisation des variétés instables via des éclatements et une extension des travaux d'Arezzo-Pacard.