Formule des Traces Relative, Périodes, Fonctions L et Analyse Harmonique – FERPLAY

Le domaine des formes automorphes et de la fonctorialité de Langlands est un sujet très actif de la recherche mathématique internationale contemporaine, à la croisée de la théorie des nombres, de la théorie des représentations, et de la géométrie arithmétique et algébrique.

La théorie dite de l'endoscopie, qui permet d'étudier des cas particulier de fonctorialité, initiée par Langlands et Shelstad il y a presque quarante ans, semble aujourd'hui arriver à maturité. Parmi les avancées notables, on peut citer la stabilisation de la formule des traces (tordue) de Arthur-Selberg par J. Arthur
(qui repose sur la preuve du Lemme fondamental par Ngô B.-C. et des travaux de Waldspurger) et la classification du spectre automorphe des groupes classiques orthogonaux et symplectiques en termes du spectre automorphe des groupes généraux linéaires qui s'en déduit.

Mais d'autres techniques semblent nécessaires dans l'étude de la fonctorialité. La motivation du projet FERPLAY est d'étudier les « périodes » des formes automorphes. Plus précisément, on espère caractériser la non-nullité de certaines périodes en terme de fonctorialité de Langlands voire relier ces périodes à des valeurs de fonctions L (un exemple typique est la conjecture globale de Gross-Prasad).

Notre approche pour ces questions, qui est celle suggérée par Jacquet, consiste à mettre au point une formule des trace « relatives » générale exprimant les périodes du spectre automorphe en termes géométriques et de comparer ces formules pour différents groupes. Pour ce faire, nous comptons développer tous les outils nécessaires (analyse harmonique relative, transfert, lemmes fondamentaux, théorie des représentations distinguées, décomposition spectrale sur un espace symétrique etc.).