Modèles cinétiques en biologie et domaines connexes – KIBORD

Les méthodes proviennent des développements les plus récents en théorie des EDP, ils incluent
- l'existence d'états stationnaires remarquables, grâce à des méthodes topologiques (théorie du degré) mais aussi grâce aux preuves assistées par ordinateur, dans lesquelles la partie de dimension infinie des équations est traitée au niveau théorique, alors qu'une partie finie-dimensionnelle est traitée au niveau informatique (avec un contrôle rigoureux de toutes les erreurs)
- les estimations d'entropie/dissipation d'entropie, qui permettent d'obtenir des résultats quantitatifs de convergence vers un état d'équilibre, même lorsque l'on part d'une donnée initiale loin de l'équilibre.
- les méthodes perturbatives, qui incluent les développement récents relatifs à l'élargissement d'espaces fonctionnels.
- les lemmes de dualité, qui permettent d'obtenir de la régularité parabolique même lorsque les coefficients des équations ne sont pas continus.
- les scalings dépendant du temps, qui rendent possible l'étude détaillée du comportement asymptotique des équations ne possédant pas d'état d'équilibre non triviaux, et amènent à la construction de profils.
- les solutions renormalisées, qui apparaissent naturellement lorsque l'on considère des équations cinétiques ou paraboliques dans lesquelles la régularité a priori des solutions n'est pas suffisante pour définir rigoureusement des solutions au sens des distributions.
Toutes ces méthodes sont utilisées pour les différents types d'équations (cinétiques, hyperboliques, paraboliques de dimension infinie, intégrodifférentielles, etc.).

J. A. Carrillo, F. James, F. Lagoutière et N. Vauchelet se sont intéressés à l'étude de l'équation dite d'agrégation, décrivant la dynamique de bactéries sous l'effet d'un agent chimique attracteur. L'étude d'un tel système requiert une analyse au sens des mesures, puisque les solutions explosent en temps fini. L'étude proposée a permis de définir rigoureusement les trajectoires des agrégats de bactéries.

L. Desvillettes, T. Lepoutre, A. Moussa et A. Trescases se sont intéressés à l'étude de l'existence de solutions faibles pour des systèmes généraux de cross-diffusion. Tout d'abord, ils ont montré que l'ensemble des exposants admissibles pour les termes de cross-diffusion coïncide avec la condition d'ellipticité. De plus ils ont résolu une difficulté récurrente dans l'étude des systèmes de cross-diffusion en développant une nouvelle procédure d'approximation.

M. Burger, A. Lorz et M.-T. Wolfram analysent un modèle de jeu à champs moyen de type Boltzmann pour la croissance de la connaissance. Les auteurs se concentrent sur la construction et l'existence de solutions particulières qui ont trait à la croissance exponentielle en temps, appelées solutions de chemin de croissance équilibrée.

S. Mischler, C. Quininao et J. Touboul s'intéressent à une
équation d'évolution de type McKean-Vlasov cinétique décrivant le comportement statistique d'un réseau de neurones en interaction, chaque neurone ayant une dynamique propre de type Fitzhugh-Nagumo bruitée. Ils démontrent l'existence d'au moins une
solution stationnaire non triviale. Des simulations sont présentées dans le cas d'un régime de connexions neuronales fortes laissant apparaitre une dynamique complexe (oscillation autour de deux solutions stationnaires).

L. Boudin et F. Salvarani ont confronté la modélisation cinétique en sciences sociales à des données réelles, issues de sondages concernant l'indépendance de l’Écosse. Les résultats produits par le modèle sont très convaincants asymptotiquement.

Récemment une collaboration sur l'étude de méthodes innovantes pour le contrôle de la Dengue a débuté au laboratoire Jacques-Louis Lions, en collaboration avec la FioCruz de Rio de Janeiro, au Brésil. L'idée de cette étude est de contrôler le vecteur de la Dengue, le moustique Aedes Egypti, par une population de moustiques ne pouvant pas transmettre ce virus. Cette étude se ramène donc à l'étude d'un système de réaction-diffusion
Dans une série de travaux récents, différents modèles de réseaux de neurones ont été analysés et le comportement qualitatif des solutions a été décrit dans le cas d'une faible connectivité entre les neurones. Deux questions restent particulièrement importantes: quels sont les modèles les plus pertinents et quel est le comportement qualitatif des solutions au delà du régime de connectivité faible. S. Mischler, C. Quininao, et J. Touboul travaillent directement sur ces questions.
De nouveaux résultats sur les lemmes de dualité ont permis de progresser dans la connaissance des équations de réaction-diffusion de la chimie réversible. On essaie maintenant, dans un travail en commun entre M. Breden, L. Desvillettes et K. Fellner, de tirer partie de ces nouveaux résultats pour améliorer la théorie des équations de coagulation-fragmentation-diffusion.
Une question qui est apparue récemment concerne l'extension au cas des équations de réaction-diffusion des résultats connus sur les équations différentielles ordinaires relatives aux réseaux de réactions chimiques. Des résultats dans cette direction sont envisagés dans le cadre d'une collaboration entre L. Desvillettes, K. Fellner et B. Tang.

Voici quelques-unes des publications reliées aux résultats obtenus dans le cadre de l'ANR Kibord. Une liste complète est disponible sur le site web de l'ANR.

L. Desvillettes, Th. Lepoutre, A. Moussa; Entropy, duality and Cross Diffusion, SIAM Journal of Mathematical Analysis 46 (1) 820-853.

Pierre Degond, Amic Frouvelle, Gaël Raoul, Local stability of perfect alignment for a spatially homogeneous kinetic model, J. Stat. Phys., 2014, 157 (1), pp.84-112.

B. Perthame, M. Tang, N. Vauchelet, Traveling wave solution of the Hele-Shaw model of tumor growth with nutrient, Math. Meth. Mod. in Appl. Sc., Vol 24 No 13 (2014), 489-508.

L. Corrias, M. Escobedo, J. Matos, Existence, uniqueness and asymptotic behavior of the solutions to the fully parabolic Keller-Segel system in the plane, J. Differential Equations 257 (2014), 1840-1878.

P. Gabriel, F. Salvarani, Exponential relaxation to self-similarity for the superquadratic fragmentation equation, Appl. Math. Lett. 27 (2014), 74-78

L. Almeida, C. Emako, N. Vauchelet, Existence and diffusive limit of a two-species kinetic model of chemotaxis, Kin. Rel. Models. Vol 8 no 2 (2015), 359-380.

L. Desvillettes, A. Trescases, New results for triangular reaction cross diffusion system, Journal of Mathematical Analysis and Applications 430 (2015), 32-59.

A. Lorz, and B. Perthame, Long-term behaviour of phenotypically structured models, Proceedings of the Royal Society A, Vol. 470, no. 2167, 2014

Pierre Gabriel, Global stability for the prion equation with general incidence, Mathematical Bioscience and Engineering, Vol 12, no 4, 2015, 789-801.

F. James, N. Vauchelet, Numerical methods for one-dimensional aggregation equations, SIAM J. Numer. Anal., Vol 53 no 2 (2015), 895-916.

M. Breden, L. Desvillettes, J.-P. Lessard, Rigorous numerics for nonlinear operators with tridiagonal dominant linear parts, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A (DCDS-A) Vol 35 no 10 (2015).

Cette proposition de projet consiste à rassembler trois équipes de mathématiciens (ENS Cachan – CMLA, Univ. Paris-Dauphine – CEREMADE, Univ. Paris 6 – LJLL) spécialisés en EDP et leur simulation numérique, et ayant déjà une expérience de collaboration avec des équipes travaillant dans le domaine de la biologie ou des études médicales. Ce que nous proposons ici est une étude détaillée de la modélisation et de l’analyse mathématique/numérique de problèmes provenant de différents domaines de la biologie, incluant la biologie cellulaire, les fluides biologiques, la dynamique des populations et le comportement collectif chez l’animal.

Le point commun de ces problèmes est le besoin d’examiner les propriétés qualitatives et les approximations numériques de systèmes d’EDP conçus spécifiquement pour modéliser ces problèmes, et qui sont distincts de tous les systèmes apparaissant en physique. Le plus souvent, ils ont des caractéristiques spécifiques aux applications, comme un nombre infini d’équations pour la coagulation-fragmentation, ou des termes de diffusion croisée pour l’évolution spatiale d’espèces intelligentes.

Les méthodes qui seront utilisées proviennent des développements les plus récents en théorie des EDP, incluant l'existence de solutions remarquables non triviales, les estimations d’entropie/dissipation d’entropie, la stabilité linéaire et non linéaire d'équilibres, des lemmes de dualité, des preuves assistées par ordinateur, des changements d’échelle dépendant du temps, des solutions renormalisées, etc. Notre but est en particulier d’extraire l’information de systèmes qui sont loin d’états stationnaires connus.

Notre étude sera structurée autour de trois thèmes principaux :

- Grands systèmes multi-agents et leur structure spatiale. Ces situations apparaissent lorsqu’un grand nombre d’individus suivant une loi simple donne lieu à des phénomènes complexes, comme en mécanique statistique. De nombreux niveaux de modélisation mènent à des classes d’équations différentes (cinétiques, paraboliques, etc.). Les problématiques biologiques considérées ici incluent le swarming, le chimiotactisme, les aérosols, et les réseaux de neurones.

- Croissance, coalescence et fragmentation. Ces phénomènes apparaissent en biologie et (bio)chimie à différentes échelles (molécules, cellules, etc.). Ils sont modélisés par un nombre infini (parfois même un continuum) d’EDPs menant à une large variété de comportements. Le phénomène d’explosion connu sous le nom de gélation est particulièrement intéressant, et son étude dans un contexte spatialement inhomogène est une problématique récente et très prometteuse.

- Nouveaux paradigmes pour les modèles de réaction-diffusion. Ces modèles sont utilisés depuis longtemps pour la modélisation d’organismes vivants. De nouveaux types d’équations de réaction-diffusion ont récemment attiré l’attention, parmi lesquels les systèmes de réaction-diffusion croisée et les équations incluant des termes non locaux. De même, des méthodes conçues récemment (telles que les preuves d’existence assistées par ordinateur) ont apporté un nouvel éclairage sur des problèmes classiques (tels que l’instabilité de Turing).


Le programme de recherche qui est proposé permettra de mettre en place plusieurs stages de M2 pour des étudiants qui ont développé des compétences en EDP appliquées à la biologie/médecine, par exemple issus des spécialités de M2 de l’Univ. Paris 6 et du campus Paris-Saclay avec lesquels les porteurs du projet entretiennent des liens privilégiés, mais aussi provenant d'autres formations de haut niveau françaises ou internationales en biomathématiques, EDP, et analyse numérique.