Refroidissement des quasicristaux : des pavages aléatoires aux pavages apériodiques – QuasiCool

Nous utilisons des simulations par ordinateur pour conjecturer des résultat, ainsi que pour aider à établir théoriquement ces résulats (observer la dynamique réelle sur des exemples permet d'en saisir intuitivement les propritétés principales puis de formaliser).

Simulations prometteuses, résultats théoriques ébauchés.

Résultats théoriques

1 article de conférence, 1 chapitre de livre.

Le titre complet du projet QuasiCool est "Refroidissement des quasicristaux : des pavages aléa-
toires aux pavages périodiques". C’est un projet de quatre ans regroupant sept chercheurs en
combinatoire, théorie des probabilités et des systèmes dynamiques, ainsi qu’un doctorant (thèse
à commencer la deuxième année du projet si le financement est accepté). Le coordinateur de
ce projet, Thomas Fernique, est chercheur en informatique au CNRS depuis octobre 2008. Le
but de ce projet est de comprendre d’un point de vue théorique, plus précisément en termes de
pavages, la structure et la croissance des quasicristaux.
Les quasicristaux sont des matériaux non périodiques mais ordonnés, découverts en 1982 par
Dan Shechtman (ce qui lui a valu le dernier prix Nobel de chimie). Ils sont aujourd’hui générale-
ment obtenus (comme les cristaux) par refroidissement lent d’un alliage en fusion. D’un point
de vue théorique, le problème est de comprendre quelles structures quasicristallines peuvent
être obtenues, de sorte à obtenir une classification analogue à celle de Bravais-Fedorov pour les
structures cristallines.
Les pavages sont des recouvrements d’un espace par des compacts disjoints appelés tuiles. Au
début des années 60, on découvrit que certains pavages non périodiques du plan pouvaient
être complètement caractérisés uniquement pas la façon dont leurs tuiles pouvaient s’agencer,
c’est-à-dire par des contraintes locales. Le lien avec les quasicristaux fut rapidement fait après
la découverte de ces derniers, les contraintes locales modélisant les interactions énergétiques
à courte portée. Cependant, l’existence de pavages apériodiques ne garantit pas que ceux-ci
puissent être facilement obtenus. Ceci conduisit les scientifiques à étudier un modèle des qua-
sicristaux alternatif : les pavages aléatoires. Les limites de ce modèle sont cependant apparues
récemment, car certains quasicristaux ressemblent beaucoup plus à des pavages apériodiques
qu’à des pavages aléatoires.
C’est ici que notre projet intervient. Nous modélisons le refroidissement des quasicristaux par
un processus où des transformations locales – des flips – sont faites aléatoirement sur un pavage
initial aléatoire, un flip étant d’autant plus probable que, localement, le pavage obtenu semble
plus proche d’un pavage apériodique. Déterminer la vitesse de convergence – et donc le réalisme
– de ce processus est un objectif majeur de notre projet. Les deux autres objectifs princi-
paux y sont fortement liés : classifier les pavages apériodiques (la “cible” de notre processus) est
comprendre les propriétés typiques des pavages aléatoires (le point de départ de notre processus).