Espaces de Berkovich globaux – GLOBES

Nos trois tâches principales sont les suivantes : propriétés locales et globales des espaces analytiques globaux, topologie des espaces arithmétiques et applications. Nous devrons les aborder dans cet ordre. Cependant, de nombreuses interactions existent et il est possible que la recherche de certaines applications nous pousse à revenir sur les parties plus théoriques du projet. Nous pensons donc qu'il est souhaitable de s'intéresser simultanément aux différentes parties.

Indiquons que, même pour démontrer des résultats proches de ceux qui existent dans les cas complexes et p-adiques, nous aurons besoin de méthodes nouvelles. Nous aurons donc besoin d'une maîtrise complète des techniques existantes dans les cas connus, de façon à comprendre dans quelle mesure elles peuvent être généralisées. Nous ne nous travaillerons donc pas uniquement sur les espaces globaux, mais aussi sur les espaces au-dessus d'un corps, afin d'améliorer les techniques dans ce cadre. Une telle approche nous semble particulièrement nécessaire dans le cas des thèmes les plus récents, comme les groupes fondamentaux tempérés.

Chaque fois que nous commencerons à travailler sur une nouvelle partie du projet, nous avons l'intention de débuter par des calculs explicites (de groupes de cohomologie, groupes fondamentaux, etc.) sur des exemple simples, tels que les espaces affines, projectifs, les courbes elliptiques, ou d'autres courbes plus générales si la situation nous semble s'y prêter. Nous obtiendrons ainsi une base de données pouvant être utile à d'autres chercheurs également.

Nous prévoyons d'organiser des rencontres régulières, une par an, de façon que chaque membre du projet puisse suivre les avancées des autres. Nous pensons également que ces moments seront des occasions idéales pour commencer à aborder de nouveaux sujets car il sera plus facile d'identifier les difficultés à plusieurs et de se répartir les tâches.

Au moment du démarrage du projet, les espaces analytiques globaux n'étaient réellement bien compris que dans le cas de la droite. Depuis, Poineau est parvenu à étendre l'étude locale de ces espaces en dimension arbitraire de façon satisfaisante. Il montre que les espaces satisfont les propriétés attendues : noethérianité, excellence, cohérence du faisceau structural, etc.

Les nouvelles méthodes introduites laissent présager de nombreuses applications et permettront d'attaquer les autres questions du projet.

Nous entreprendrons l'étude globale des espaces analytiques globaux. Nous commencerons par nous intéresser à la cohomologie cohérente des espaces, en nous fondant sur des calculs explicites dans des exemples simples. Nous rechercherons également des critères utiles pour caractériser les espaces de Stein (sur lesquels la cohomologie cohérente s'annule).

Une fois les bases des espaces analytiques globaux comprises, nous nous intéresserons à leur topologie spectrale et étale. Notre première tâche consistera à formuler une définition de la topologie étale dans ce contexte, puisqu'aucune n'est encore disponible.

Nous étudierons ensuite les revêtements topologique et étale et les groupes fondamentaux des espaces analytiques. Nous pensons que le cas des courbes pourra être traité assez rapidement. Pour les espaces de dimension supérieure, en revanche, il nous faudra introduire de nouvelles méthodes, puisque celles utilisées dans le cadre p-adiques s'appuient sur les schémas formels, dont aucun analogue n'existe pour les espaces globaux.

Nous analyserons aussi la cohomologie étale des espaces analytiques globaux. Nous sommes particulièrement intéressés par la cohomologie Weil-étale des espaces arithmétiques et tâcherons de la relier à la précédente.

Nous sommes convaincus que l'étude des revêtements étales que nous allons mener nous permettra de construire des espaces avec des propriétés requises. Cela entraînerait de nouveaux résultats concernant le problème inverse de Galois sur les anneaux de séries arithmétiques convergentes, en particulier dans le cas de dimension supérieure, où rien n'est encore connu. Nous espérons également pouvoir obtenir de nouvelles méthodes pour construire des familles asymptotiquement bonnes au sens de la théorie de l'information.

Nous présenterons nos travaux dans des conférences et séminaires internationaux et le publierons dans des revues internationales, de façon à le rendre accessible à la communauté mathématique. Nous pensons qu'il peuvent ouvrir la voie à de nouvelles recherches, théoriques (développement et applications de la géométrie analytique globale, cohomologie Weil-étale, etc.) et appliquées (via les applications en théorie de l'information). Le thème des espaces analytiques globaux est par nature analytique, mais peut également intéresser d'autres mathématiciens, en théorie des nombres, par exemple. Nous visons à montrer que les espaces analytiques globaux sont des objets utilisables en pratique et à fournir des outils pour que des mathématiciens d'autres horizons puissent également s'en servir.

Nous nous attacherons particulièrement à rendre la théorie des espaces analytiques globaux accessible aux jeunes chercheurs. Nous dédierons une partir importante du budget à l'organisation de groupes de travail, conférences et d'une école d'été avec des exposés introductifs à destination de chercheurs d'autres domaines. Nous prévoyons également d'écrire une série d'articles dans le même but. Nous sommes convaincus que les événements que nous prévoyons d'organiser bénéficieront à la communauté des mathématiciens dans son ensemble, et en particulier aux doctorants et jeunes post-doctorants.

Actuellement (T0 + 6 mois), nous avons :
- des articles dans des revues internationales ;
- des exposés dans des conférences internationales ;
- des mini-cours introductifs en ligne (http://ag.hse.ru/ducros-poineau);
- un premier atelier en préparation (prévu en janvier 2014).

Dans ce projet, nous nous proposons de mener une étude systématique poussée de la géométrie analytique globale, c'est-à-dire de la géométrie analytique des espaces définis sur des anneaux d'entiers de corps de nombres.

La géométrie analytique a d'abord été développée sur le corps des nombres complexes et y a connu de très nombreux succès. Plus récemment, les travaux de Tate et d'autres à sa suite (Berkovich, Huber, etc.) ont posé les bases de la géométrie analytique sur tout corps valué complet (et en particulier sur les corps p-adiques). Cette théorie est maintenant bien développée et a donné lieu à de nombreuses applications (programme de Langlands, dynamique, intégration motivique, etc.).

La définition d'espace analytique proposée par Berkovich permet d'aller encore plus loin et de définir des espaces analytiques sur les anneaux d'entiers de corps de nombres. Ces espaces « globaux » sont naturellement fibrés en espaces analytiques complexes et p-adiques, reliant ainsi géométrie archimédienne et ultramétrique. L'étude de la géométrie de ces espaces, bien que riche de promesses, n'en est qu'à ses balbutiements. Le but de notre projet est de la développer de façon systématique et d'obtenir des applications en géométrie algébrique et arithmétique.

Dans ce projet, nous souhaitons aborder différents aspects des espaces analytiques globaux. Dans un premier temps, nous prévoyons de nous consacrer à une étude locale de ces espaces pour y démontrer des résultats analogues à ceux dont jouissent les espaces complexes ou p-adiques. Nous tâcherons également de comprendre autant que faire se peut la cohomologie des faisceaux cohérents et même des fibrés métrisés, pour faire le lien avec la théorie d'Arakelov.

Par la suite, nous nous attacherons à la topologie des espaces analytiques globaux en considérant tout d'abord leur topologie spectrale, puis leur topologie étale (qui n'est, à l'heure actuelle, pas définie). Nous prévoyons également d'étudier les groupes fondamentaux associés. Au cours de ces recherches, nous espérons notamment parvenir à donner des interprétations géométriques à certains invariants des corps de nombres. Nous essaierons également de mettre en lumière les liens qui existent entre la topologie étale des espaces analytiques globaux et la topologie Weil-étale des schémas arithmétiques.

Finalement, nous travaillerons sur les applications de la théorie des espaces analytiques globaux. Nous pensons en effet que les techniques développées dans les premières parties du projet nous permettront de construire des espaces jouissant de bonnes propriétés. De telles constructions trouveraient aisément des applications dans divers domaines, du problème inverse de Galois à la théorie de l'information. En particulier, nous souhaitons appliquer nos résultats dans le cadre de la théorie asymptotique des fonctions zêta et L en caractéristique nulle. Nous pensons en effet pouvoir tirer de notre étude des espaces analytiques globaux de nouvelles méthodes permettant de construire des familles asymptotiquement bonnes d'espaces définis sur des corps de nombres, celles-ci permettant à leur tour de définir de nouveaux codes et empilements de sphères.