Thématiques actuelles en lois de conservation – CoToCoLa

Continuation des travaux dans les thématiques qui nous sont familières - invitations d'experts extérieurs pour des thématiques que nous voulons développer. Voir le .odt pour plus d'informations.

Des résultats nouveaux ont été obtenus pour les problèmes suivants :
estimations d'erreur et de stabilité structurelle pour les lois de conservation fractionnaires dégénérés, téchniques semigroupes pour lois de conservation avec flux discontinu, problème de Neumann pour l'équation scalaire parabolique dégénérée, conditions au bord générales pour lois de conservation, limites de capillarité évanescente pour les milieux poreux fracturés, équations de transport avec régularité minimale en domaine bornée, simulations sur des problèmes hyperboliques à condition de bord non locale et sur un problème de Saint-Venant avec terme visqueux original. Un travail important sur les lois de conservation fractionnaires en domaine borné est en phase finale de rédaction.

Des problèmes nouveaux ont été abordés grâce aux intéractions avec nos invités (Colombo, Ghoshal, Cancès). Nous continuons à avancer sur la plupart des tâches du projet. Voir le .odt pour les détails.

Le premier objectif du projet est de résoudre une palette de questions concrètes dans la théorie actuelle des lois de conservation et des problèmes apparentés de convection-diffusion. Les directions (Tâches) s'appuient sur des techniques récentes d'analyse non linéaire (quelques-unes des questions concernées n'étaient pas accessibles il y a quelques années encore); elles prennent leur origine dans des applications récentes ou celles qui restent toujours d'actualité. Chaque tâche relève du d'un domaine d'expertise d'un des membres du projet et, en même temps, il y a une forte connexion à l'activité d'au moins un collègue du projet et de nos collaborateurs nationaux et internationaux.

Le second but est, d'avancer dans la compréhension de la théorie et des outils principaux (incluant les outils les plus récents) d'analyse des lois de conservation et des EDP non linéaires de types voisins. En effet, les tâches que nous avons sélectionnées sont représentatives d'une palette de thèmes fondamentaux dans la théorie de ces problèmes. Citons : diverses notions de solution et le caractère bien posé ; analyse de termes non locaux dans les lois de conservation ; coopération de semigroupes dans les équations d'évolution ; problèmes de convection-diffusion de type mixte ; problèmes au bord et problèmes d'interface pour les lois de conservation ; (ir)régularité et comportement qualitatif des solutions ; approximations numériques convergentes et efficaces.

En cours d'avancement dans la résolution de ces divers problèmes, notre troisième objectif est de former, de façon progressive, un groupe à Besançon travaillant sur un spectre large d'approches contemporaines des problèmes de lois de conservation.

En effet, l'équipe du projet consiste en cinq MCF appartenant tous au Laboratoire de Mathématiques de Besançon CNRS UMR 6623. Pour trois parmi nous, les lois de conservation constituent le champ de recherche principal. Toutefois, à présent chacun se focalise sur un domaine différent et des sujets qui lui sont propres : lois de conservation non locales (fractionnaires) / problèmes paraboliques dégénérés, problèmes d'interface pour les lois scalaires / systèmes et limites visqueuses. Le projet est né de notre intention de faire interagir nos cultures différentes. Ces trois personnes vont porter la principale charge du travail sur le projet. L'implication des deux autres membres de l'équipe est un point de départ pour une collaboration future plus ample ; ils ont rejoint l'équipe pour cause de leur intérêt à ces sujets, et ils contribuent leur expertise de nature différente : celle en techniques linéaires d'EDP et celle en analyse numérique et calcul scientifique. Nous demandons le financement d'un post-doc dans l'équipe pendant la seconde année du projet, afin qu'il apporte une compétence propre dans le domaine de contrôle des lois de conservation hyperboliques, domaine qui se trouve en pleine expansion.

Le développement des sujets dont nous traitons a connu une interaction très forte entre chercheurs français, italiens, américains, russes, norvégiens, polonais, allemands, espagnols, chinois,... Nous avons déjà des contacts solides avec certains des groupes à la pointe du domaine du projet ; et nous avons l'intention de maintenir et de renforcer ce genre d'échanges.

Le travail sur les tâches sera complété par trois colloques ou écoles (une par année) , plus une rencontre finale avec la participation des experts extérieurs et des collaborateurs du projet, sur les thèmes choisis de la théorie moderne des EDPs dont les aspects actuels de contrôle des lois de conservation.