Automorphismes Polynomiaux et Transformations Birationnelles – BirPol

Le projet est structuré par deux grands axes fédérateurs jalonnés par des problèmes intermédiaires qui semblent prometteurs dans ce contexte :
I) Développer une approche de type «espace de modules de dimension infinie« dans le cadre de la théorie des ind-variétés
et ind-schémas algébriques. Il s'agit ici de munir les groupes d'automorphismes polynomiaux et birationnels de structures
géométriques idoines qui en feraient des espaces de paramètres pour ces objets, en un sens aussi universel que possible. Développer les fondations de cette théorie encore très embryonnaire constitue l'un des grands enjeux. Dans le contexte birationnel, un préliminaire nécessaire consiste à étudier les topologies naturelles pouvant être définies sur les groupes de Cremona.
II) Utiliser et adapter de manière systématique les outils de la Théorie de Mori à l'étude conjointe des automorphismes polynomiaux et birationnels. Dans le cadre projectif, il s'agira en particulier d'étudier les sous-groupes algébriques maximaux du groupe de Cremona en dimension 3 via le programme de Sarkisov. L'application de ces méthodes dans un contexte affine, nécessite un gros travail préliminaire d'adaptation destiné en particulier à les rendre plus effectives, et ce même en dimension 2. Cet aspect constitue une part importante du projet, source de nombreuses questions intermédiaires naturelles et qui semblent raisonnablement accessibles dans les délais du projet.

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La principale retombée scientifique attendue consiste logiquement en des progrès significatifs dans la compréhension des groupes d'automorphismes polynomiaux et des groupes de Cremona en dimension 3, ainsi qu'à l' émergence de nouvelles directions de recherche à la croisée de la géométrie algébrique, de la
dynamique et de la théorie géométrique des groupes.

Transform. Groups 17 (2012), no. 1, 21-50.
[2] J. Blanc et S. Lamy, Weak Fano threefolds obtained by blowing-up a space curve and
construction of Sarkisov links, Proc. Lond. Math. Soc. (à paraître).
[3] S. Cantat & I. Dolgachev, Rational Surfaces with a Large Group of Automorphisms; J.
Amer. Math. Soc., vol 25 (2012), no. 3, 863-905
[4] A. Dubouloz & S. Lamy, Automorphisms of open surfaces with irreducible boundary,
preprint Février 2012.
[5] E. Edo, T. Kanehira, M. Karas & S. Kuroda, Separability of wild automorphisms of a
polynomial ring, preprint 2012.
[6] S. Lamy & J. Sebag, Birational self-maps and piecewise linear algebraic geometry, preprint
decembre 2011.
[7] S. Lamy & S. Vénéreau, The tame and the wild automorphisms of an affine quadric
threefold, Journal of the Mathematical Society of Japan (à paraître).

Le projet BirPol se situe à l'intersection entre la géométrie algébrique, l'algèbre commutative, la dynamique holomorphe et la théorie géométrique des groupes. Le but est d'étudier les automorphismes polynomiaux de l'espace affine et les transformations birationnelles des espaces projectifs, ou groupes de Cremona. Il s'agit de domaines classiques en géométrie algébrique, déjà très étudiés depuis le 19ème siècle, mais dans lesquels de nombreuses questions sont encore ouvertes dès la dimension 3. L'étude de ces deux thématiques a longtemps été menée de manière indépendante, souvent guidée par des intérêts et des méthodes divergents. Cependant de nombreux résultats récents, tant en géométrie algébrique qu'en théorie des groupes et dynamique holomorphe révèlent une profonde analogie entre les deux sujets, tant au niveaux des résultats connus, essentiellement en dimension 2, que dans les difficultés conceptuelles et techniques rencontrées pour aborder leur étude en dimension supérieure.

L'objectif scientifique principal consiste à développer une approche et des techniques communes permettant d'une part de ré-interpréter et d'améliorer les résultats existants en dimension 2 et d'autre part de progresser significativement dans l'étude des automorphismes polynomiaux et des automorphismes birationnels en dimension 3. L'équipe du projet est par conséquent constituée d'experts de différents aspects complémentaires du problème posé (géométrie projective birationnelle, géométrie algébrique affine, dynamique holomorphe, géométrie algébrique réelle, géométrie complexe, algèbre commutative, théorie des invariants, théorie géométrique des groupes) qui partagent la même volonté de porter un regard nouveau sur ces questions.

Les activités de groupe planifiées dans le cadre de ce projet (mini-workshops trimestriels, conférences à thème, congrès international) poursuivent deux objectifs complémentaires : d'une part susciter le nécessaire échange des idées et encourager les initiatives de collaborations originales susceptibles de conduire à de nouveaux résultats, et d'autre part développer et promouvoir deux axes de recherche fédérateurs et prometteurs :
1) Utilisation et adaptation systématique des outils de la Théorie de Mori à l'étude conjointe des automorphismes polynomiaux et birationnels.
2) Développement et application d'une approche de type "espace de modules de dimension infinie" basée sur la théorie existante des ind-variétés et ind-schémas algébriques.


Ce projet a par ailleurs vocation à contribuer à la pérennisation d'un réseau de chercheurs français autour des thèmes de la géométrie affine et des transformations birationnelles, pour le moment uniquement structuré autour d'un groupe de travail inter-universitaire franco-suisse informel sur le thème des automorphismes des espaces affines créé en 2006. Ce projet permettra de développer les activités de ce groupe, de promouvoir et de diffuser ses centres d'intérêt et d'accroître sa visibilité tant nationale qu'internationale.