De Vassiliev à Khovanov – Invariants de type fini et Categorification pour les objets noués – VasKho

Le projet VasKho s'articule autour des deux grandes théories qui ont révolutionné la théorie des nœuds lors des vingt dernières années, à savoir les notions d'invariants de type fini et de catégorification. D'une part, la théorie des invariants de type fini, amorcée par les travaux de Vassiliev et Goussarov, propose un cadre unifié pour l'étude des nombreux invariants classique des nœuds et des objets noués, qui incorpore notamment les invariants polynomiaux. D'autre part, la théorie de la catégorification, incluant les homologies de Khovanov et de Heegaard-Floer, enrichit considérablement nombre des invariants polynomiaux, en les interprétant comme des caractéristiques d'Euler graduées d'invariants homologiques plus riches.

Le projet comporte deux volets principaux. Dans un premier volet, il propose de poursuivre l'étude de quelques uns des problèmes centraux soulevés dans chacune de ces deux théories (Tâches 1 et 2). Ces problèmes concernent toute classe d'objets noués : nœuds, tresses et enchevêtrements usuels/virtuels/weldeds, mais aussi les variétés de dimensions trois. Dans un second volet, il vise à étudier la problème, jusqu'ici presque totalement inexploré, de l'existence et de la nature des connections entre ces deux grandes théories (Tâche 3).

Le projet regroupe quatre jeunes maîtres de conférences récemment recrutés en France et spécialisés dans les invariants de type fini ou la catégorification. Il vise à créer un réseau français travaillant sur ces théories.